Авторегресійна умовна гетероскедастичності - це

базові моделі

Нехай часовий ряд є наступний процес

Тоді як умовне, так і безумовне математичне сподівання цього процесу буде дорівнює нулю. Умовна дисперсія даного процесу буде дорівнює

Така модель умовної дисперсії називається ARCH (q) -модель. Для недопущення негативних значень дисперсії передбачається, що всі коефіцієнти моделі невід'ємні, причому константа строго позитивна. Якщо цей процес стаціонарний, то безумовна дисперсія постійна і дорівнює, очевидно,

Необхідна умова стаціонарності - сума коефіцієнтів моделі (без константи) строго менше одиниці. Якщо сума коефіцієнтів дорівнює одиниці маємо інтегрований ARCH (нестаціонарний).

ARCH-процеси характеризуються позитивним ексцесом ( «товсті хвости»). Наприклад, для ARCH (1) -процес зрушення від ексцесу нормального розподілу дорівнює, якщо

Оцінка параметрів ARCH (q) -моделі може бути проведена за допомогою звичайного МНК.

ARCH-модель передбачає залежність умовної дисперсії тільки від квадратів минулих значень часового ряду. Узагальнити дану модель можна припустивши, що умовна дисперсія залежить також від минулих значень самої умовної дисперсії. Це так званий узагальнений ARCH (Generalized ARCH - GARCH). В цьому випадку GARCH (p, q) модель (де p - порядок GARCH-членів і q - порядок ARCH-членів) описується наступним чином:

Необхідна умова стаціонарності. Безумовна дисперсія стаціонарного GARCH (p, q) -процес буде постійна і дорівнює

Якщо сума коефіцієнтів дорівнює одиниці, то маємо інтегрований GARCH - IGARCH. безумовна дисперсія якого нескінченна.

GARCH-в-середньому (GARCH-in-Mean, GARCH-M) запропонована Енгл і ін. В 1987 році. В даному випадку мова не йде про спеціальну моделі для умовної дисперсії. Йдеться про використання умовної дисперсії в якості одного з факторів регресійній моделі для премії за ризик. Якщо позначити надлишкову прибутковість, то модель GARCH-M означає, що

де випадкова помилка моделі є GARCH-процесом з умовною дисперсією, а f-деяка функція.

Енгл використовував функцію, однак, теоретично можливі будь-які варіанти, зокрема просто або

Асиметричні моделі GARCH

Дані модифікації базових моделей мають на меті врахувати спостережувану іноді на фінансових ринках асиметрію: погані новини (негативні шоки) зазвичай надають більший вплив на волатильність, ніж хороші новини (позитивні шоки), тобто волатильність вище на падаючому ринку, ніж на зростаючому. Цей ефект іноді називають ефектом левериджу (важеля), що пов'язано з одним з пояснень цього явища про те, що ціни акцій знижуються, збільшуючи фінансовий леверидж компаній, а значить і рівень ризиків (що відповідає більшій волатильності). В рамках класичних GARCH-моделей цей ефект пояснити неможливо, так як умовна дисперсія залежить від квадратів минулих значень ряду і не залежить від знаків.

TGARCH і GJR-GARCH

де для моделі Закояна, а для моделі GJR -. Фактично в моделях вводяться передбачаються різні коефіцієнти для негативних і позитивних минулих значень ряду, тому іноді TGARCH-модель представляють також в наступному вигляді:

де A -сімметріческая позитивно певна матриця, a-позитивний вектор.

Дана модель враховує крім ефекту левериджу також і можливу взаємодію впливу лагов завдяки внедіагональним елементам матриці A. В разі, якщо матриця А діагональна, а вектор а дорівнює нулю, то отримуємо стандартні моделі GARCH. Якщо при діагональної матриці А вектор а -ненулевой, то маємо асиметричні GARCH. Якщо, де c-деякий вектор, а коефіцієнти, то отримуємо лінійну модель стандартного відхилення

узагальнюючі моделі

Якщо статечної параметр, а показник обліку асиметрії, то отримуємо звичайні GARCH-моделі. Якщо (показник обліку асиметрії також дорівнює нулю), то отримуємо GARCH-модель для умовного стандартного відхилення Тейлора (1986) і шверт (1989):

Якщо ж показник обліку асиметрії не дорівнює нулю, то отримуємо TGARCH-модель. Якщо і показник обліку асиметрії приймає невід'ємні значення, то отримуємо GJR-GARCH.

модель Хентшеля

Якщо і b = 0, то отримуємо APGARCH (1,1), а значить і всі приватні моделі враховуються останньою моделлю. Дана модель, на відміну від APGARCH, також дозволяє отримати EGARCH - в межі при перетворення Боксу-Кокса одно логарифмічною функції і якщо, то отримуємо EGARCH (1,1).

використовувані розподілу

У GARCH-моделях використовуються різні розподілу для кращої відповідності емпіричним особливостям фінансових рядів. Уже використання нормального розподілу пояснює в значній мірі «товсті хвости» в розподілі доходностей. Проте, цього виявляється недостатньо. Часто корисним виявляється використання розподіл Стьюдента з малим числом ступенів свободи, яке саме має більш товсті хвости в порівнянні з нормальним розподілом. Такі моделі іноді позначають GARCH-t. З метою обліку асиметрії використовують також спеціальне скошене розподіл Стьюдента (t-розподіл Хансена). Такі моделі іноді позначають GARCH-HT

Регресивні моделі з GARCH-помилкою

e -залишки регресійній моделі

Таким чином, облік додаткової інформації про GARCH-процесі в випадкових помилках дозволяє отримати потенційно більш точні оцінки параметрів моделі.

Однак, ще більший ефект має місце в разі інтервальних короткострокових прогнозів по регресійний моделям. В даному випадку GARCH-модель дозволяє точніше оцінити умовну по Минулого інформації дисперсію і побудувати більш точний інтервальний прогноз.

У зв'язку з цим важливим є тестування ARCH-процесу в помилках моделі.

тестування ARCH

Тест використовує МНК-залишки регресії. Для цього будується допоміжна регресія квадратів залишків на квадрати минулих залишків. Далі за допомогою F-тесту або LM-тесту перевіряється значимість цієї допоміжної регресії. Якщо вона визнається значущою, то вагоміший ARCH-ефект. В іншому випадку його можна вважати незначним.

Для поліпшення цієї статті бажано.