Асимптоти кривої - студопедія

Асимптоти бувають вертикальними, вони показують поведінку функції в околиці особливої ​​точки, коли, і похилими, що дають уявлення про поведінку функції при.

Якщо особлива точка, рівняння вертикальної асимптоти.

Теорема. Крива має похилу асимптоту при, рівняння якої, якщо приймають кінцеве значення і.

Доведення. З визначення асимптоти слід, де нескінченно мала при, тобто. Залишається визначити параметри рівняння асимптоти. Для цього обчислимо,. Отже, якщо обидва межі існують і кінцеві, параметри прямої і визначені, причому точки цієї прямої нескінченно зближуються з точками кривої при.

Приклад. . Ясно, що - рівняння вертикальної асимптоти.

.

Похила асимптота при має рівняння.

Дослідження функції, побудова її графіка

I. Дослідження самої функції. необхідно встановити

1) Область визначення функції, її особливі точки, вертикальні асимптоти.

2) Точки перетину кривої з осями координат

3) Функція парна, непарна або загального вигляду

4) Функція періодична або НЕ періодична

II. Дослідження похідної функції. необхідно визначити

1) Точки максимуму і мінімуму функції

2) Інтервали зростання і спадання функції

III. Дослідження другої похідної

1) Точки перегину

2) Інтервали опуклості та угнутості функції

IV. Дослідження поведінки функції при. Похилі асимптоти.

Як приклад розглянемо функцію

1. Область існування функції - вся числова вісь, тобто. Отже, у цій кривій немає особливих точок, немає і вертикальних асимптот.

2. Крива перетинає осі координат на початку координат. Отже, перша характерна точка графіка.

3. Крива непарна:, отже, вона симетрична відносно початку координат.

4. Функція неперіодичних.

II. 1. Визначимо першу похідну, прирівнюємо її нулю, звідки отримуємо ще дві характерні (критичні) точки,, координати цих точок на площині,. Розглянемо першу з цих точок, лівіше її похідна, правіше, отже, це точка мінімуму функції. Лівіше точки похідна правіше вона негативна, значить це точка максимуму функції.

2. Знак першої похідної визначається виразом, отже, вона позитивна на інтервалі, в інших областях вона негативна. Отже, функція спадає на інтервалі, зростає на інтервалі, потім знову зменшується на.

III. 1. Визначаємо другу похідну функції:

.

Прирівнюємо похідну нулю і отримуємо ще три характерні точки функції, одна з яких вже відома. Дві інші і. На координатної площині вони мають координати,. Знак другої похідної визначається її чисельником. Лівіше точки вона негативна, правіше. Отже, це точка перегину. Лівіше точки маємо, правіше. ще одна точка перегину. Лівіше точки отримуємо, правіше, третя точка перегину.

2. Оскільки інших точок, в яких друга похідна змінює знак у функції немає, можна стверджувати, що на інтервалі крива опукла, на інтервалі крива увігнута, на інтервалі крива знову опукла і, нарешті, на інтервалі - увігнута.

IY. Визначаємо похилі асимптоти кривої, рівняння асимптоти, причому

,

,

Оскільки рівняння асимптоти, асимптотой функції є вісь.

В результаті графік функції має вигляд

На малюнку чітко спостерігаються точки максимуму і мінімуму функції і три точки перегину. Бачимо також, що крива «притискається» до осі при, яка прагне як до плюс, так і до мінус нескінченності, отже, асимптота єдина.

Розглянемо приклад при іншому оформленні результату. Нехай. Область існування даної функції - вся числова вісь, крім точки. Функція неперіодичних (немає тригонометричних функцій), загального вигляду (НЕ парна, які не непарна).

Визначимо спочатку всі характерні точки графіка, тобто точки перетину з осями координат, особливі точки, точки максимуму і мінімуму, точки перегину. Для цього обчислимо першу і другу похідні

,

.

Досліджуючи функцію і її похідні, встановлюємо, що є одна особлива точка і ще три характерних точки,,.