Аліквотні дробу, соціальна мережа працівників освіти

Моя робота називається аліквотні дробу. Чому я вибрала цю тему?

У 7 класі наша улюблена математика розділилася на два різних предмета: алгебра і геометрія. Спочатку ми всім класом думали, що це два НОВИХ предмета, але виявилося, що алгебра дуже схожа на математику 1-6 класу, а геометрія нам іноді також зустрічалася в підручниках. Практично на одному з перших уроків алгебри вчитель запропонував нам зробити приклад з підручника, який, як нам здалося, був досить простий, потрібно було тільки старанно виконати всі дії.

Наш підручник: «Алгебра з поглибленим вивченням математики 7 клас»

Ми почали приводити дроби до одного знаменника і швидко зрозуміли, що це досить важко. Виявляється, є дуже простий спосіб!

Якщо уявити дробу:

Учитель сказав нам, що такі дроби з чисельником 1 - називають Аліквотні! Мене дуже зацікавило - коли з'явилися ці дроби, які ще приклади можна вирішувати з їх допомогою і т.д. І я вирішила дізнатися про аліквотних дробах побільше!

Аліквотні дробу почали використовуватися ще в давнину. Необхідність в дрібних числах виникла в результаті практичної діяльності людини. Потреба в знаходженні часткою одиниці з'явилася у наших предків при розподілі здобичі після полювання. Другою суттєвою причиною появи дрібних чисел слід вважати вимір величин за допомогою обраної одиниці виміру.

Першою дробом, з якою познайомилися люди, була половина. Хоча назви всіх наступних дробів пов'язані з назвами їх знаменників (три - «третина», чотири - «чверть» і т. Д.), Для половини це не так - її назва у всіх мовах не має нічого спільного зі словом «два». Наступною дробом була третина.

У Стародавньому Єгипті «натоящімі» математики вважали тільки аліквотні дробу. Тому кожну дріб прагнули представити у вигляді суми аліквотних дробів, причому з різними знаменниками.

Таким чином, перші дроби, з якими нас знайомить історія, це дроби виду - - так звані одиничні дроби або аліквотні.

Єгипетська дріб - в математиці сума кількох аліквотних дробів виду (так званих аліквотних дробів). Іншими словами, кожна дріб суми має чисельник, що дорівнює одиниці, і знаменник, який представляє собою натуральне число.

Єгипетська дріб являє собою позитивне раціональне число виду a / b; наприклад, єгипетська дріб, записана вище, може бути записана у вигляді дробу 43/48. Можна показати, що кожне позитивне раціональне число може бути представлено у вигляді єгипетської дробу. Сума такого типу використовувалася математиками. як визначення, для дробів починаючи з часів стародавнього Єгипту до середньовіччя.

Поодинокі дробу зустрічаються в найдавніших, що дійшли до нас математичних текстах, складених більше 5000 років тому, - давньоєгипетських папірусах і вавилонських клинописних табличках.

Отже, єгиптяни все дроби записували як суми часток, тобто дробів виду 1 / n. Наприклад: 8/15 = 1/3 + 1/5. Дробу 1 / n (де n - натуральні числа), яким єгиптяни віддавали перевагу, в сучасній математиці називаються Аліквотні (від латинського aliguot- "кілька ''). Тобто Аліквотні дроби називаються дроби з чисельником 1. І навіть самі аліквотні дроби вони часто прагнули представити у вигляді суми менших аліквотних дробів. Наприклад,

Такі дробу використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити «Хекат», основну міру обсягу в Стародавньому Єгипті, тобто аліквотні дроби потрібні були єгиптянам в практичних цілях.

Розглянемо таку задачу: «Розділити 7 хлібів між 8 людьми» Якщо розрізати кожен хліб на 8 частин, доведеться провести 49 розрізів. А по-єгипетськи ця задача вирішувалася так: 7/8 = 1/2 +1/4 +1/8. Значить, кожній людині потрібно дати півхліба, чверть хліба і восьмушку хліба. Доведеться зробити майже в три рази менше розрізів.

Єгипетські дроби тривали використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження древніх математиків. Наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонської системою (позиційна система числення).

Важливу роботу по дослідженню єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі в своїй праці «Liber Abaci» - це обчислення, використовують десяткові і звичайні дроби, витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складну запис дробів, що включала запис чисел зі змішаним підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також в книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Я познайомилася з різними завданнями давнини, які вирішуються через аліквоти. Ще мене зацікавило питання розбиття дробів на аліквоти. Досліджуючи розкладання дробів виду 2 / n і 2 / (2n +1) я отримала математичні формули розбиття виду 2 / n = 1 / n + 1 / n; 2 / (2n + 1) = 1 / (2n + 1) + 1 / (2n + 1) і я порахувала очевидним шляхом дослідження отримати ще одну формулу 2 / (2n + 1) = 1 / (n + 1) + 1 / (2n + 1) (n + 1), наприклад,

при n = 2 + 2/5 = 1/3 + 1/15

при n = 5 2/11 = 1/6 + 1/66 і т.п.

Щоб уявити яке-небудь число у вигляді суми аліквотних дробів, часом доводиться проявляти неабияку винахідливість. Скажімо, число 2/43 виражається так: 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Проводити арифметичні дії над числами, розкладаючи їх в суму часткою одиниці, дуже незручно. Тому в процесі вирішення завдань для розкладання аліквотних дробів у вигляді суми менших аліквотних дробів виникла ідея систематизувати розкладання дробів у вигляді формули. Ця формула діє, якщо потрібно розкладання аликвотной дробу на дві аліквотні дробу.

Формула виглядає наступним чином:

Приклади розкладання дробів:

Але якщо перетворити нашу формулу, то отримаємо наступне корисне рівність:

Тобто аликвотную дріб можна представити різницею двох аліквотних дробів, або різницю двох аліквотних, знаменателями яких є послідовні числа рівні їх твору.

Повернемося до формули і доведемо це рівність:

(1 / (n + 1)) + (1 / n * (n + 1)). привівши дроби до спільного знаменника, отримуємо:

(N + 1) / ((n + 1) * n) після скорочення отримуємо: 1 / n.

Отже, виходить, що 1 / n = 1 / n. Наша формула вірна.

Але ми підемо далі, і на підставі різниці аліквотних дробів вирішимо на перший погляд, важковирішувану для звичайної людини завдання:

Скористаємося нашої формулою для розкладання аликвотной дробу у вигляді різниці:

1/20 = 1 / (4 * 5) = 1 / 4-1 / 5 і т.д.

Підставивши, вже розкладені вираження в наш приклад, отримуємо:

Ми представили формулу, як зручність при розкладанні аликвотной дробу на 2 доданків. При розкладанні 1 на два доданків виходить: 1 = 1/2 + 1/2 (Наша формула діє!). Щоб розкласти 1 на 3 доданків, ми візьмемо одну аликвотную дріб і за формулою розкладемо її ще на дві аліквотні дробу:

Щоб розділити на 4 доданків, ділимо ще одну дріб на дві аліквотні дробу:

На 5 доданків: 1/6 = 1/7 + 1/42 => 1 = 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42.

Рішення задач з підручника

Уявити число 1 у вигляді сум різних аліквотних дробів

А) трьох доданків

Б) чотирьох доданків

B) п'яти доданків

1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 1/3 + (1/7 + 1 / 42) = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1/2 + (1/4 + +1/12) + 1/7 + 1/42 = 1/2 + 1/4 +1/12 + 1/7 + 1/42

№ 37 Чи вірно рівність?

І відняти від неї суму

Таким чином, при розробці даної теми, ми дізналися, що першими дробом, якими оперували люди, були аліквотні дробу. З'ясували, що кожне раціональне число виду a / b може бути розкладено на одиничні дроби.

Завдання з використанням аліквотних дробів становлять великий клас нестандартних завдань. Аліквотні дробу використовуються тоді, коли потрібно щось розділити на кілька частин з найменшою кількістю дій для цього. Розкладання дробів на дві аліквотні дробу систематизували у вигляді формули, перетворивши яку, легко вирішили олімпіадні задачі з математики різних років.

Вирішивши проблему розкладання аліквотних дробів на дві аліквотні дробу, ми прийшли до висновку, що розкладання на три, чотири, п'ять і т.д. аліквотних дробів можна зробити, розклавши одна з складових на дві дробу, наступне доданок ще на дві аліквотні дроби і т.д.

Таким чином, аліквотні дробу (з чисельником 1) довгий час були єдиними дробом, з якими якось умів оперувати людина, а правила дій з довільними дробами розроблені «порівняно недавно». У сучасній математиці замість єгипетських дробів використовуються прості і десяткові дроби. однак єгипетські дроби продовжують вивчатися в теорії чисел та історії математики.

Цю тему я вибрала тому, що мені було цікаво дізнатися про те, як виникли аліквотні дробу, як вони використовувалися в стародавні часи і як вони використовуються в наш час. Мені дуже сподобалося працювати з цією темою, завдяки цьому я дізналася дуже багато нового про аліквоти.