алгебра матриць

називають розміром матриці.

Матриця називається квадратної порядку n, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n:

Упорядкований набір елементів а11, а22, ..., АNN називається головною діагоналлю, в свою чергу, А1N, А2, n-1, ..., аn1 - побічної діагоналлю матриці. Квадратна матриця, елементи якої задовольняють умові:

називається діагональної, тобто діагональна матриця має вигляд:

Діагональна матриця порядку n називається одиничною, якщо всі елементи її головної діагоналі рівні 1. Матриця будь-якого розміру називається нульовою або нуль матрицею, якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Одинична матриця позначається буквою Е, нульова - О. Матриці мають вигляд:

Лінійні операції над матрицями

Визначення. Сумою матриць А = (аij) і B = (bij) однакових розмірів

називається матриця С = (сij) тих же розмірів, така що cij = aij + bij для всіх i і j.

.

Таким чином, щоб скласти матриці А і В, треба скласти їх елементи, які стоять на однакових місцях. наприклад,

Визначення. Твір матриці А на число l називається матриця Lа = (l аij), що отримується множенням всіх елементів матриці А на число l.

Різниця матриць А і В можна визначити рівністю А-В = А + (- 1) У.

Розглянуті операції називаються лінійними.

Відзначимо деякі властивості операцій.

Нехай А, В, С - матриці однакового розміру; a, b - дійсні числа.

А + В = В + А - комутативність складання.

(А + В) + С = А + (В + С) - асоціативність додавання.

Матриця О, що складається з нулів, грає роль нуля: А + О = А.

Для будь-якої сволока А існує протилежна -А, елементи якої відрізняються від елементів А знаком, при цьому А + (-А) = О.

a (BА) = (ab) А = (a А) b. 6. (a + b) А = a А + BА.

7. a (А + В) = a А + aВ. 8. 1 * А = А. 9. 0 * А = 0.

У матричної алгебри важливу роль відіграє операція множення матриць, це вельми своєрідна операція.

Визначення. Твором матриці А = (аij) розміру

і прямокутної матриці B = (bij) розміру

називається прямокутна матриця С = (сij) розміру

, така що cij = ai1 + b1j + ai2 + b2j + ... + aik + bkj;

.

.

Таким чином, елемент твору матриць А і В, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка першої матриці А на відповідні елементи j-ого стовпця другого матриці В тобто

.

Твір С = АВ визначено, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Ця умова, а також розміри матриць можна представити схемою:

Очевидно, що операція множення квадратних матриць завжди визначена.

Приклади. Знайдемо твори матриць АВ і ВА, якщо вони існують.

,

.

,

.

Таким чином, комутативними (переместітельний) закон множення матриць, взагалі кажучи, не виконується, тобто

В окремому випадку комутативним законом має твір будь квадратної матриці А n-го порядку на одиничну матрицю Е такого ж порядку, тобто

,

.

Для цих матриць твір як АВ, так і ВА не існує.

,

, ВА - не існує.

Властивості множення матриць.

Нехай А, В, С - матриці відповідних розмірів (тобто твори матриць визначені), l - дійсне число. Тоді на підставі визначень операцій і властивостей дійсних чисел мають місце такі властивості:

(АВ) С = А (ВС) - асоціативність.

(А + В) С = АС + ВС - дистрибутивность.

А (В + С) = АВ + АС - дистрибутивность.

ЕА = АЕ = А, для квадратних матриць одинична матриця Е відіграє роль одиниці.

Наведемо приклад докази лише одного властивості. Доведемо, наприклад, властивість 3.

Нехай для А = (аij), B = (bij), C = (cij) твори матриць визначені. Знайдемо елемент i-го рядка і j-го стовпця матриці А (В + С). Це буде число

Перша сума в правій частині рівності дорівнює елементу з i-го рядка і j-го стовпця матриці АВ, а друга сума дорівнює елементу з i-го рядка і j-го стовпця матриці АС. Міркування вірно при будь-яких i і j, то властивість 3 доведено.

Вправа 1. Перевірте властивість асоціативності 1 для матриць:

,

,

.

Вправа 2. Перевірте властивість дистрибутивности 2 для матриць:

,

,

.

Вправа 3. Знайти матрицю А 3. якщо

.

Вироджені і невироджені матриці

Визначення. Матриця називається вироджених, якщо її визначник дорівнює нулю, і невироджених, якщо визначник матриці відмінний від нуля.

,

0; А - невироджена матриця.

,

= 12-12 = 0; А - вироджена матриця.

Теорема. Твір матриць є вироджена матриця тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників є вироджена матриця.

Необхідність. Нехай АВ - вироджена матриця, тобто

= 0. Тоді, в силу того, що визначник твори матриць дорівнює добутку визначників перемножуєте матриць, маємо

Це означає, що хоча б одна з матриць А чи В є виродження.

Достатність. Нехай в творі АВ матриця А вироджена, тобто

= 0; АВ - вироджена матриця.

Зауваження. Доведена теорема справедлива для будь-якого числа множників.

Визначення. Квадратна матриця В називається оберненою по відношенню до матриці А такого ж розміру, якщо

,

.

В - матриця обернена до А.

Теорема. Якщо для даної матриці обернена існує, то вона визначається однозначно.

Припустимо, що для матриці А існують матриці Х і У, такі, що

Помноживши одне з рівності, наприклад, АХ = Е зліва на У, отримаємо У (АХ) = УЕ. В силу асоціативності множення маємо (УА) Х = УЕ. Оскільки УА = Е, то ЕХ = УЕ, тобто Х = У. Теорема доведена.

Теорема (необхідна і достатня умова існування зворотної матриці).

Зворотній матриця А -1 існує тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця А невироджена.

Необхідність. Нехай для матриці А існує зворотна А -1. тобто А

А = Е. Тоді, ½А

А -1 ½ = ½А½

½А -1 ½ = ½Е½ = 1, тобто ½А½

0 і ½А -1 ½

0; А - невироджена.

Достатність. Нехай дана невироджених матриця порядку n

,

так що її визначник

0. Розглянь матрицю, складену з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А:

,

її називають приєднаної до матриці А.

Слід звернути увагу на те, що алгебраїчні доповнення до елементів i-го рядка матриці А коштують в i-му стовпці матриці А *. для

.

Знайдемо твори матриць АА * і А * А. Позначимо АА * через С, тоді за визначенням твору матриць маємо: Сij = аi1 А 1j + аi2 А 2j + ... + аin Аnj; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j отримаємо суму добутків елементів i - го рядка на алгебраїчні доповнення цієї ж рядки, така сума дорівнює значенню визначника. Таким чином Сij = | А | = D - це елементи головної діагоналі матриці С. При i

j, тобто для елементів Сij поза головною діагоналі матриці С, маємо суму творів всіх елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення іншого рядка, така сума дорівнює нулю. Отже,

Аналогічно доводиться, що твір А на А * одно тій же матриці С. Таким чином, маємо А * А = АА * = С. Звідси випливає, що

Тому, якщо в якості зворотної матриці взяти

Отже, зворотна матриця існує і має вигляд:

.

Приклад. Знайдемо матрицю, зворотну до даної:

Знаходимо D = | А | = -1 ¹ 0, А

існує. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

=

=

=