Алгебра матриць основні поняття

Алгебра матриць Основні поняття

Визначення. Прямокутна таблиця з m рядків і n стовпців, заповнена деякими математичними об'єктами, називається - матрицею.

Ми будемо розглядати числові матриці. Числа, що складають матрицю, називаються її елементами. Для позначення матриці, як правило, використовуються круглі дужки. При записи, в загальному вигляді елементи матриці позначаються однією буквою з двома індексами, з яких перший вказує номер рядка, а другий - номер стовпця матриці. Наприклад, матриця

У скороченій записи: А = (аij); де аij - дійсні числа, i = 1,2, ... m;

j = 1,2, ..., n (коротко..). Твір називають розміром матриці.

Матриця називається квадратної порядку n, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює n:

Упорядкований набір елементів а11, а22, ..., АNN називається головною діагоналлю, в свою чергу, А1N, А2, n-1, ..., аn1 - побічної діагоналлю матриці. Квадратна матриця, елементи якої задовольняють умові:

називається діагональної, тобто діагональна матриця має вигляд:

Діагональна матриця порядку n називається одиничною, якщо всі елементи її головної діагоналі рівні 1. Матриця будь-якого розміру називається нульовою або нуль матрицею, якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Одинична матриця позначається буквою Е, нульова - О. Матриці мають вигляд:

Лінійні операції над матрицями

Визначення. Сумою матриць А = (аij) і B = (bij) однакових розмірів називається матриця С = (сij) тих же розмірів, така що cij = aij + bij для всіх i і j.

Таким чином, щоб скласти матриці А і В, треба скласти їх елементи, які стоять на однакових місцях. наприклад,

Визначення. Твір матриці А на число називається матриця А = (аij), що отримується множенням всіх елементів матриці А на число.

Наприклад, якщо і = 5, то

Різниця матриць А і В можна визначити рівністю А-В = А + (- 1) У.

Розглянуті операції називаються лінійними.

Відзначимо деякі властивості операцій.

Нехай А, В, С - матриці однакового розміру ;. - дійсні числа.

А + В = В + А - комутативність складання.

(А + В) + С = А + (В + С) - асоціативність додавання.

Матриця О, що складається з нулів, грає роль нуля: А + О = А.

Для будь-якої сволока А існує протилежна -А, елементи якої відрізняються від елементів А знаком, при цьому А + (-А) = О.

7. (А + В) = А + В. 8. 1 * А = А. 9. 0 * А = 0.

У матричної алгебри важливу роль відіграє операція множення матриць, це вельми своєрідна операція.

Визначення. Твором матриці А = (аij) розміру і прямокутної матриці B = (bij) розміру називається прямокутна матриця С = (сij) розміру, така що cij = ai1 + b1j + ai2 + b2j + ... + aik + bkj; . .

Таким чином, елемент твору матриць А і В, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка першої матриці А на відповідні елементи j-ого стовпця другого матриці В тобто

Твір С = АВ визначено, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Ця умова, а також розміри матриць можна представити схемою:

Очевидно, що операція множення квадратних матриць завжди визначена.

Приклади. Знайдемо твори матриць АВ і ВА, якщо вони існують.

Таким чином, комутативними (переместітельний) закон множення матриць, взагалі кажучи, не виконується, тобто В окремому випадку комутативним законом має твір будь квадратної матриці А n-го порядку на одиничну матрицю Е такого ж порядку, тобто

Для цих матриць твір як АВ, так і ВА не існує.

Отримаємо, ВА - не існує.

Властивості множення матриць.

Нехай А, В, С - матриці відповідних розмірів (тобто твори матриць визначені), - дійсне число. Тоді на підставі визначень операцій і властивостей дійсних чисел мають місце такі властивості:

(АВ) С = А (ВС) - асоціативність.

(А + В) С = АС + ВС - дистрибутивность.

А (В + С) = АВ + АС - дистрибутивность.

ЕА = АЕ = А, для квадратних матриць одинична матриця Е відіграє роль одиниці.

Наведемо приклад докази лише одного властивості. Доведемо, наприклад, властивість 3.

Нехай для А = (аij), B = (bij), C = (cij) твори матриць визначені. Знайдемо елемент i-го рядка і j-го стовпця матриці А (В + С). Це буде число

Перша сума в правій частині рівності дорівнює елементу з i-го рядка і j-го стовпця матриці АВ, а друга сума дорівнює елементу з i-го рядка і j-го стовпця матриці АС. Міркування вірно при будь-яких i і j, то властивість 3 доведено.

Вправа 1. Перевірте властивість асоціативності 1 для матриць:

Вправа 2. Перевірте властивість дистрибутивности 2 для матриць:

Вправа 3. Знайти матрицю А 3. якщо.

Вироджені і невироджені матриці

Визначення. Матриця називається вироджених, якщо її визначник дорівнює нулю, і невироджених, якщо визначник матриці відмінний від нуля.

Приклад. , = 16-15 = 1 0; А - невироджена матриця.

, = 12-12 = 0; А - вироджена матриця.

Теорема. Твір матриць є вироджена матриця тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників є вироджена матриця.

Необхідність. Нехай АВ - вироджена матриця, тобто = 0. Тоді, в силу того, що визначник твори матриць дорівнює добутку визначників перемножуєте матриць, маємо Це означає, що хоча б одна з матриць А чи В є виродження.

Достатність. Нехай в творі АВ матриця А вироджена, тобто = 0. Знайдемо, тому що = 0; отже, = 0; АВ - вироджена матриця.

Зауваження. Доведена теорема справедлива для будь-якого числа множників.

Визначення. Квадратна матриця В називається оберненою по відношенню до матриці А такого ж розміру, якщо

В - матриця обернена до А.

Теорема. Якщо для даної матриці обернена існує, то вона визначається однозначно.

Припустимо, що для матриці А існують матриці Х і У, такі, що

Помноживши одне з рівності, наприклад, АХ = Е зліва на У, отримаємо У (АХ) = УЕ. В силу асоціативності множення маємо (УА) Х = УЕ. Оскільки УА = Е, то ЕХ = УЕ, тобто Х = У. Теорема доведена.

Теорема (необхідна і достатня умова існування зворотної матриці).

Зворотній матриця А -1 існує тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця А невироджена.

Необхідність. Нехай для матриці А існує зворотна А -1. тобто А А -1 = А -1 А = Е. Тоді, А А -1 = А А -1 = Е = 1, тобто А 0 і А -1 0; А - невироджена.

Достатність. Нехай дана невироджених матриця порядку n

так що її визначник 0. Розглянь матрицю, складену з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А:

її називають приєднаної до матриці А.

Слід звернути увагу на те, що алгебраїчні доповнення до елементів i-го рядка матриці А коштують в i-му стовпці матриці А *. для.

При = j отримаємо суму добутків елементів - го рядка на алгебраїчні доповнення цієї ж рядки, така сума дорівнює значенню визначника. Таким чином Сij = | А | = - це елементи головної діагоналі матриці С. При j, тобто для елементів Сij поза головною діагоналі матриці С, маємо суму творів всіх елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення іншого рядка, така сума дорівнює нулю. Отже, = АА *

Аналогічно доводиться, що твір А на А * одно тій же матриці С. Таким чином, маємо А * А = АА * = С. Звідси випливає, що

Тому, якщо в якості зворотної матриці взяти, то Отже, зворотна матриця існує і має вигляд:

Приклад. Знайдемо матрицю, зворотну до даної:

Знаходимо = | А | = -1 0, А існує. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

А = = 0; А = = -1; А = = 3;

А = = -3; А = = 3; А = = -4;

А = = 1; А = = -1; А = = 1;