Афінний простір - це

над полем k - безліч А (елементи догрого зв. точками А. п.), к-рому зіставлені векторний простір над (наз. простором приєднаним до А) .і відображення безлічі в простір (образ елемента позначається і зв. вектором з початком АІ кінцем b), що володіє властивостями:

для будь-якої фіксованої точки аотображеніе є біекція

для будь-яких точок виконується співвідношення Шаля:

Розмірністю А. п. A зв. розмірність L. Точка і вектор визначають іншу точку, що позначається т. е. аддитивная група векторів простору Lтранзітівно і вільно діє на А. п. відповідному.

Приклади. 1) Безліч векторів простору є А. п.. приєднане до нього простір збігається з. Зокрема, поле скалярів є А. п. Розмірності 1. Якщо. то зв. гс-м ерним координатним А. п. над полем k, точки його визначають вектор

2) Доповнення до будь-якої гиперплоскости в проектному просторі над полем kявляется А. п.

3) Безліч рішень системи лінійних (алгебраїчних або диференціальних) рівнянь є А. п. Приєднаним до домрому є простір рішень відповідної однорідної системи рівнянь.

Підмножина А. п. Аназа. аффінним подпространством (або лінійним різноманіттям) в А, якщо безліч векторів утворює підпростір простору Кожне Афінний підпростір має вигляд - недо-рої підпростір в. а а - довільний елемент з А '.

Відображення зв. аффінним, якщо існує лінійне відображення приєднаних векторних просторів. таке, що для будь-яких биективное Афінний відображення зв. аффінним изоморфизмом. Все А. п. Однакової розмірності аффінно ізоморфні між собою.

Аффінниє ізоморфізми А. п. A в себе утворюють групу, наз. аффинной групою А. п. Аі позначається. Аффинная група А. п. Позначається. Кожен елемент задається формулою

- оборотна матриця. Аффинная група містить інваріантну підгрупу, наз. підгрупою паралельних переносів,

що складається з відображень. для яких брало відображення ср: є тотожним. Ця група ізоморфна аддитивной групі векторів простору. Відображення визначає сюр'ектівний гомоморфізм в загальну лінійну групу. ядром догрого є підгрупа паралельних переносів. Якщо - евклідів простір, то прообраз ортогональної групи зв. підгрупою евклідових руху-н і п. Прообраз спеціальної лінійної групи зв. екв і аффинной підгрупою (див. Аффинная унімодулярная група). Підгрупа що складається з відображень таких, що для деякого і будь-яких зв. центроаффінной підгрупою, вона ізоморфна загальної лінійної групи GL простору L.

У аягебраіч. геометрії А. п. також наз. аффінниє алгебраїчні безлічі, аффінниє різноманіття або аффінниє схеми спеціального виду. Кожне конечномерное А. п. Можна, в свою чергу, забезпечити структурою аффинного алгебраїч. безлічі, забезпеченого топологією Заріскому.

Аналогічно будується А. п. Асоційоване з векторним простором над тілом k.

Літ. : [1] Бурбак Н. Алгебра. Алгебраїчні структури. Лінійна і полілінейная алгебра. пер. з франц. М. 1962. І. В. Долгачев, А. П. Широков.

Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.