9 клас

Відображення площині на себе.

Всі поняття, які будуть введені нами в цьому розділі, фактично, вже вивчалися нами раніше, з тією лише різницею, що тепер ми введемо їх в загальному вигляді.

Осьова симетрія - це такий тип симетрії, при якій кожній точці площини, наприклад в точці М (Рис. 1), за певним законом ставиться у відповідність інша точка тій же площині.

Закон, згідно з яким проводиться це відповідність, такий:

З точки М проводиться перпендикуляр до прямої і виходить точка Р, точка перетину перпендикуляра з віссю. Відкладався відрізок РМ1 = РМ, і знаходиться точка М1. Отже, будь-якій точці М площини ставиться у відповідність єдина точка М1 площині, при цьому:

1. МР ^ а, Р - точка їх перетину

2. РМ1 = РМ. звідки виходила точка М1

При цьому ми спиралися на відомий геометричний факт: з точки М можна провести лише одну пряму перпендикулярну даної прямий.

Зворотна операція: якщо при осьової симетрії точці М ставиться у відповідність точка М1, то точці М1 ставиться у відповідність точка М.

Точно такі ж операції відповідності можна провести і для пари точок N і N1 тій же площині (Рис. 1), причому якщо нам відома точка N1, яка поставлена ​​у відповідність точці N, то нам відома і сама точка N. Отже, кожній точці площини ставиться у відповідність інша точка площині. І будь-яка точка площині має свою відповідну точку.

Осьова симетрія є окремим випадком так званого відображення площині насебя.

Іншим окремим випадком відображення площині на саму себе є центральна симетрія.

Точка площині М переходить в точку площини іншу М1 по наступному закону (Рис. 2):

1. проводиться пряма МО

2. ця пряма триває і на ній відкладається відрізок ОМ1 = ОМ, отримуємо точку М1

М1 ставиться у відповідність точці М.

Обидва представлених прикладу відображень мають наступну властивість:

якщо взяти відрізок MN завдовжки а, то він перейде в відрізок M1N1 тієї ж довжини, т. е. відстань між будь-якими точками зберігаються.

Відображення площині на себе, при якому всі відстані зберігаються, називаетсядвіженіем,

т. е. «площину рухається, а відстань зберігається». Рухів таких кілька, ми поки розглянули два з них, а саме осьову симетрію і центральну симетрію. Тепер доведемо, що кожна з цих симетрій є рухом. Треба довести, що будь-які відстані зберігаються.

Доведемо це для осьової симетрії.

Отже, при від відображенні, М → М1, N → N1, причому РМ1 = РМ, NQ = QN1 (Рис. 3)

Нам потрібно довести, що MN = M1N1.

Складемо креслення (Рис. 4).

Зробимо додаткові побудови, побудуємо точку К таку, що МК ^ NN1,

тоді точка К відобразиться в точку К1.

Доведемо рівність прямокутних трикутників MNК і M1N1К1. У цих трикутниках довжини, що цікавлять нас, є гіпотенузи, значить, треба довести рівність катетів.

МК = М1К1 як два перпендикуляра до паралельних прямих.

З Рис. 4 видно, що NK = NQ - KQ і N1K1 = N1Q - K1Q. З цих рівностей і умови того, що точка N відобразилася в точку N1, випливає, що NK = N1K1.

Тобто трикутники рівні за двома катетам, а отже, рівні і їх гіпотенузи, тобто MN = M1N1, що й треба було довести.

Доведемо тепер, що центральна симетрія також є рухом. Доповнимо Рис. 2 точкою N і точкою N1, в яку відобразиться перша точка при центральній симетрії (Рис. 5).

Для цього побудуємо відрізок ON і його продовження - відрізок ON1, отримаємо точку N1. При цьому ON1 = ON. Необхідно довести, що MN = M1N1

по двох сторонах і куту між ними (ÐMОN = ÐM1ОN1 як вертикальні, а відповідні сторони трикутників рівні внаслідок законів центральної симетрії).

Тобто і при центральній симетрії будь-які відстані зберігаються. Таким чином, і центральна симетрія є рухом.

Отже, ми розглянули відображення площині на себе. Розглянули два приклади відображення площині на себе: осьову симетрію і центральну симетрію. І помітили одну важливу обставину, що будь-які відстані при цих перетвореннях зберігаються. Ті перетворення площині на себе, які зберігають всі відстані, називаються рухами. Ми довели, що осьова симетрія є рухом і центральна симетрія є рухом.