8 Приклади розв’язання задач
8. Приклади розв'язання задач
1. Знаючи постійну розпаду ядра, визначити ймовірність Р того, що ядро розпадається за проміжок часу від 0 до t.
Рішення. Процес радіоактивного розпаду носить статистичний характер, а це означає, що якщо багаторазово повторювати досліди з радіоактивним препаратом, що містить досить велику початкове число ядер, то за проміжок часу від 0 до t розпадається кожен раз одна і та ж частка ядер. Ця величина, що характеризує відносну частоту події - розпаду ядра, і приймається за ймовірність Р розпаду ядра протягом даного проміжку часу. Таким чином
де - число нераспавшіхся ядер до моменту часу t. Підставивши в цю рівність замість N його значення за законом радіоактивного розпаду і зробивши скорочення, отримаємо відповідь:
2. Визначити, скільки ядер в = 1,0 мг радіоізотопа церію розпадається протягом проміжків часу:
1) = 1с; 2) = 1 рік.
Період напіврозпаду церію Т = 285 діб.
Рішення. Завдання вирішується за допомогою закону радіоактивного розпаду.
1. Так як, то можна вважати, що протягом всього проміжку число нераспавшіхся ядер залишається практично постійним і рівним їх початкового числа. Тоді для знаходження числа розпалися ядер застосуємо закон радіоактивного розпаду, записавши його так:
або з огляду на, що період напіврозпаду Т і постійна розпаду пов'язані співвідношенням
Щоб визначити початкове число ядер (атомів), помножимо постійну Авогадро на число молей, що містяться в даному препараті:
де - початкова маса препарату, - молярна маса ізотопу, що чисельно дорівнює (приблизно) його масового числа. З урахуванням попереднього виразу отримаємо
Висловимо числові значення величин, що входять в отриману формулу, в одиницях СІ:
Провівши обчислення з урахуванням того, що ln2 = 0,693, знайдемо.
2. Так як тепер - величини одного порядку, то диференціальна форма закону радіоактивного розпаду тут непридатна. Тому для вирішення завдання скористаємося інтегральною формою закону, справедливою для будь-якого проміжку.
Так як, то рівняння приймає більш простий вигляд
Провівши обчислення, отримаємо.
3. радіоізотопів з постійною розпаду перетворюється в радіоізотопи з постійною розпаду. Вважаючи, що в початковий момент препарат містив тільки ядра ізотопу, знайти, через скільки часу активність радіонукліда досягне максимуму?
Рішення. Активність препарату пропорційна числу наявних ядер N цього препарату. Тому активність а радіоізотопа досягне максимуму тоді, коли максимальним буде число ядер цього радіонукліда. Закон зміни з часом числа ядер виражається формулою (3). Для відшукання проміжку часу t, якому відповідав би максимум функції, продифференцируем цю функцію за часом і прирівняємо до нуля похідну:
Вирішивши це рівняння щодо t, знайдемо шуканий час
9. Активність радіоактивного препарату
Активність будь-якого радіоактивного препарату, в якому щомиті розпадається N радіоактивних атомів, виражається формулою
де - число ядер радіонукліда в момент t = 0.
10. Приклади рішення задач
1. Знайти активність радону, що утворився з = 1,0 г радію за одну добу. Знайти також максимальну активність радону. Періоди напіврозпаду радію і радону відповідно рівні років, сут.
Рішення. Використовуючи співвідношення (8) і (10), запишемо для шуканої активності
Вхідні сюди величини висловимо через дані,, за формулами:
Тоді, провівши скорочення, маємо
Це загальна формула, що виражає закон зміни з часом активності одного радіонукліда (дочірнього), отриманого в процесі розпаду іншого (материнського). Якщо врахувати що випливають з умови співвідношення і, цю формулу можна спростити. З першого нерівності випливає, що можна знехтувати величиною в різниці -. В силу другого нерівності можна прийняти за одиницю перший член, що стоїть в дужках. тоді знайдемо
Провівши розрахунок, отримаємо
Аналізуючи отриману наближену формулу, з урахуванням нерівностей і, бачимо, що з ростом часу t величина, що стоїть в дужках, наближається по експоненті до одиниці. отже,
2. Визначити початкову активність радіоактивного препарату магнію-27 масою 0,2 мкг. а також його активність через час 6 годин.
Рішення. Активність А ізотопу характеризує швидкість радіоактивного розпаду і визначається відношенням числа dN ядер, що розпалися за інтервал часу dt. до цього інтервалу
знак "-" показує, що число N радіоактивних ядер з плином часу зменшується.
Для того, щоб знайти dN / dt, скористаємося законом радіоактивного розпаду
де N - число радіоактивних ядер, що містяться в ізотопі, в момент часу t, No - число радіоактивних ядер в момент часу, прийнятий за початковий (t = 0), - постійна радіаційного розпаду.
Продифференцируем вираз (2) за часом
Виключивши з формул (1) і (3) dN / dt. знаходимо активність препарату в момент часу t
Початкову активність Ао препарату отримаємо при t = 0
Постійна радіоактивного розпаду пов'язана з періодом напіврозпаду Т1 / 2 співвідношенням
Число No радіоактивних ядер, що містяться в ізотопі, дорівнює добутку постійної Авогадро NA на кількість речовини даного ізотопу
де m - маса ізотопу, - молярна маса.
З урахуванням висловом (6) і (7) формули (5) і (4) приймають вид:
Провівши обчислення і враховуючи, що Т1 / 2 = 600 с; ln2 = 0,693; t = 6 год = 63,6. 10 3 с = 2,16. 10 4 с. отримаємо
3. При археологічних розкопках знайшли збережені дерев'яні предмети, активність 6 З 14 яких виявилася рівною 10 6 розпадів за хвилину на 1 г содержащию-гося в них вуглецю. В живому дереві відбувається в середньому 14,5 розпадів за хвилину на 1 г вуглецю. Виходячи з цих даних, визначити час виготовлення виявлених предметів.
Рішення. Відомо, ізотоп 6 С 14 є радіоактивним, його період напіврозпаду Т1 / 2 (6 С 14) = 5700 років.
Знайдемо число атомів 6 С 14 в 1 м
N = (m / A) NA = (1/14) 6,02 х 10 23 = 0,42 × 10 23.
t0 - зараз часу,
t * - момент часу, коли були виготовлені дерев'яні предмети.
Число зруйнованих атомів 6 С 14 в момент t0 і t * за 1 хв одно ΔN0 = λ · N0 · Δt; ΔN * = λ · N · Δt;
Активність пропорційна числу атомів a0 = λ · N0
Відповідь: дерев'яні предмети були виготовлені приблизно за 3056 років до теперішнього часу.
Рішення. Активність змінюється по експоненті a = a0 · exp (-λ · t). Отже, (a0 / a *) = exp (λ · t *). Звідси час зберігання оленини в холодильнику одно
Відповідь: такий тривалий час зберігання оленини в холодильнику для зниження питомої активності цезію слід вважати економічно недоцільним.
Рішення. Питома активність зерна, утримуючи-ного радіонуклід цезій-137, изменя-ється по експоненті a = a0 · exp (-λ · t).
У конкретному випадку маємо таке
співвідношення: a0 / aСР = exp (λ · Tср), де Tср середнє час зберігання зерна на елеваторі. Звідси
Відповідь: таке зерно зберігати не слід.
11. Радіоактивний розпад
Альфа-розпадом називається випускання ядрами деяких хімічних елементів частинок. Альфа-розпад є властивістю важких ядер з масовими числами А> 200 і зарядами ядер Ze> 82. Усередині таких ядер відбувається утворення відокремлених частинок, що складаються кожна з двох протонів і двох нейтронів.
При - радіоактивності заряд ядра зменшується на 2 одиниці, а маса - на 4 одиниці, наприклад:
Терміном бета-розпад позначають три типи ядерних перетворень: електронний (-) і позитронний (+) розпади, а також електронний захоплення. Перші два типи перетворення полягають у тому, що ядро випускає електрон (позитрон) і електронне антинейтрино (електронне нейтрино). Ці процеси відбуваються шляхом перетворення одного виду нуклона в ядрі в інший: нейтрона в протон або протона в нейтрон. У разі електронного захоплення перетворення полягає в тому, що зникає один з електронів в найближчому до ядра шарі. Протон, перетворюючись в нейтрон, як би "захоплює" електрон; звідси стався термін "електронний захоплення". Електронний захоплення на відміну від ± -захватил супроводжується характеристичним рентгенівським випромінюванням.
-розпад відбувається у природно-радіоактивних, а також штучно-радіоактивних ядер; + -розпад характерний тільки для явища штучної радіоактивності.
При розпаді заряд ядра збільшується на одиницю, а маса залишається незмінною, наприклад:
- випромінюванням називається електромагнітне випромінювання, що виникає при переході атомних ядер з порушених в менш порушені або основне стану. - випромінювання зазвичай супроводжує ядерні реакції. Довжини хвиль - випромінювання лежать в діапазоні 10 -10 210 -13 м. А енергія - квантів лежить в межах від 10кеВ до 5МеВ.
При - розпаді перетворення елементів не відбувається, але внутрішня енергія ядра зменшується:
Продукти розпаду можуть бути, в свою чергу радіоактивними.
12. Приклади рішення задач
1. Ядро радіоактивного елемента піддавшись ряду перетворень, втратило 5 - частинок і 3-частинки і перетворилося в ядро елемента. Визначити вихідний радіоактивний елемент.
Рішення. Втрата - частинок призводить до зменшення числа Менделєєва на одиниць, а втрата частинок призводить до збільшення цього числа на одиниць. Таким чином,
На зміну масового числа впливає тільки втрата - частинок, Кожна з яких має масове число 4:
Після підстановки чисельних значень, отримаємо:
З таблиці Д. І. Менделєєва визначаємо шуканий ізотоп:
2. Ядро якого елемента утворюється після п'яти послідовних α-перетворень 92 U 234?
Рішення. Згідно правилу радіоактивного зміщення при α-розпаді утворюється новий радіоактивний елемент, зміщений в таблиці Менделєєва на дві клітини вліво.
2) 90 Th 230 → α → 88 Y 226 + 2 He 4. Y ≡ Ra (радій);
4) 86 Rn 222 → α → 84 Q 218 + 2 He 4. Q ≡ Po (полоній);
5) 84 Po 218 → α → 82 D 214 + 2 He 4. D ≡ Pb (Свинець).
Відповідь. в результаті п'яти α-розпадів утворюється ізотоп 82 Pb 214.
13. 3акон ослаблення пучка моноенергетичного γ - випромінювання або β - частинок
При проходженні радіоактивного випромінювання через речовину щільність його потоку зменшується. 3акон ослаблення пучка моноенергетичного γ - випромінювання або β - частинок має вигляд
де j0 - щільність потоку частинок, що падають на поверхню речовини, j - щільність потоку на глибині х. μ - лінійний коефіцієнт ослаблення.
Інтенсивність γ - випромінювання I після проходження шару речовини товщиною x можна визначити за формулою
де I0 - інтенсивність γ - випромінювання, що падає на поверхню речовини.
На малюнку 13.1 наведено залежність лінійного коефіцієнта ослаблення від енергії γ - фотонів для різних речовин.
14. Енергія зв'язку ядра. Дефект маси ядра
Енергія зв'язку ядра визначається величиною тієї роботи, яку потрібно зробити, щоб розщепити ядро на складові його нуклони без надання їм кінетичної енергії.
Із закону збереження енергії випливає, що при утворенні ядра повинна виділятися така ж енергія, яку потрібно затратити при розщепленні ядра на складові його нуклони. Енергія зв'язку ядра є різницею між енергією всіх вільних нуклонів, що становлять ядро, і їх енергією в ядрі.
При утворенні ядра відбувається зменшення його маси: маса ядра менше, ніж сума мас складових його нуклонів. Зменшення маси ядра при його освіту пояснюється виділенням енергії зв'язку
де - маси протона, нейтрона і ядра відповідно; - дефект маси ядра, що представляє собою різницю між сумою мас спокою частинок, що складають ядро, і масою спокою ядра.
Маса ядра вимірюється в атомних одиницях маси (а.е.м.) або мегаелектронвольт (МеВ). 1 а.е.м. дорівнює маси атома вуглецю - 12 і становить кг або 931,4812 МеВ (931,5 МеВ).
У таблицях зазвичай наводяться маси атомів, які пов'язані з масами ядер співвідношенням
де - маса електрона.
Тому дефект маси ядра виражається в такий спосіб
Тут - маса атома водню (протон + електрон); - маса нейтрона; - маса атома (протони + електрони); с - швидкість світла; - енергія зв'язку.
Дефект маси на 1 нуклон розраховується за формулою
к.т.н. Маріуполь інституту (філії) РГТЕУ Данилова. О.Т. Основи релятивістської механіки: Навчально. -методичний посібник. / О.Т. Данилова - Маріуполь: Видавець ІП Погорєлова О.В. Закон Мозлі Елементи фізики атомногоядра і елементарних частинок Енергія.