1 Функції комплексної змінної
ЗБІРКА ЗАВДАНЬ ДЛЯ СТУДЕНТІВ 3-ГО КУРСУ
А.Г.Аленіцин, А.С.Благовещенскій, М.А.Лялінов, В.В.Суханов
Cанкт-Петербурзький державний університет Фізичний факультет
Пропонований збірник задач і вправ охоплює матеріал для практичних занять з математичної фізики. Він узагальнює досвід, накопичений співробітниками кафедри вищої математики і математичної фізики фізичного факультету Харківського державного університету. Близько половини завдань збірника не є оригінальними, вони запозичені з відомих задачников (Л.І.Волковиского, Г.Л.Лунца і І.Г.Арамановіча; Н.М.Гюнтера і Р.О.Кузьміна; М.А.Евграфова; В.С.Владімірова), посилання на які не приведені. Використано також матеріали з посібника "Методичні вказівки до практичних занять з курсу математичної фізики", написаного співробітниками кафедри. Підбір завдань і їх послідовність відповідають курсу "Методи математичної фізики", Новомосковскемому на фізичному факультеті Харківського університету в першому і другому семестрах третього курсу.
Збірник призначений для студентів і викладачів фізичних і фізико-математичних факультетів університетів та інших вищих навчальних закладів.
1.1 Однозначні регулярні функції
1.1.1 Комплексні числа
Комплексні числа - це пари дійсних чисел (a, b). Запис комплексного числа z в алгебраїчній формі: z = a + bi, де a - дійсна частина. b - уявна частина числа z, i - уявна одиниця. Стандартні позначення: a = Re z, b = Im z. Два комплексних числа рівні, якщо рівні відповідно їх речові і уявні частини. Комплексне число з нульовою уявною частиною, тобто a + 0i, ототожнюється з речовим числом a.
Сума комплексних чисел z 1 = a 1 + b 1 i і z 2 = a 2 + b 2 i визначається за формулою z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i, твір - формулою z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + b 1 a 2) i. Зокрема, i 2 = -1.
Для комплексного числа z = a + bi число a - bi є зв'язаним. воно позначається z.
Модуль комплексного числа: | z | = A 2 + b 2 ≥ 0. Очевидно, z · z = | z | 2 = a 2 + b 2. Розподіл
числа z 1 на число z 2 виконується за допомогою множення чисельника і знаменника дробу z 1 на число,
Комплексне число z = x + iy зображається на площині x, y крапкою з координатами (x, y). Відстань між двома точками z і z 0 одно | z -z 0 |. Комплексному числу z = x + iy можна зіставити також радіус-вектор точки (x, y). Кут між позитивною полуосью Ox і радіусом-вектором називається аргументом комплексного числа. При відліку проти годинникової стрілки кут вважається позитивним, за годинниковою стрілкою - від'ємним. Аргумент комплексного числа, що не рівного нулю, визначається з точністю до цілого числа повних поворотів навколо початку координат, тобто 2πn, n Z.
Для аргументу числа z застосовують позначення arg z.
1.20. Дослідити поведінку функцій sin z, tg z, sh z при y → ± ∞.
1.1.2 Умови Коші-Рімана
Околицею точки z 0 на площині z називається будь-якої коло з центром в цій точці. Функція f (z), що має похідну в околиці точки z 0. називається регулярною. або голоморфної. функцією в цій околиці.
Нехай f (z) = u (x, y) + iv (x, y), де u (x, y) і v (x, y) - диференціюються речові функції в околиці D точки z 0. Для регулярності функції f ( z) в D необхідно і достатньо, щоб в цій
околиці виконувалися умови Коші-Рімана.
Умови () можна записати в іншому вигляді. Якщо врахувати, що x = (z + z) / 2, y = (z - z) / (2i), і підставити ці вирази в u (x, y) + iv (x, y), то ми отримаємо деяку функцію f, залежить, взагалі кажучи, від z і z. Умови Коші-Рімана рівносильні того, що f фактично не залежить від z, тобто що
Безліч точок на площині називається відкритим. якщо кожну точку безлічі можна оточити околицею, всі крапки якої належать множині. Відкрите безліч називається зв'язковим. якщо будь-які дві його точки можна з'єднати ламаною, всі крапки якої належать множині. Відкрите чіткий безліч називається областю. Якщо область лежить всередині будь-якого кола, то вона називається обмеженою. в іншому випадку - нескінченною. або необмеженою. Функція, що має похідну в усіх точках області, називається регулярною (або голоморфної) в цій області.
1.21. Користуючись умовами Коші-Рімана, досліджувати на регулярність функції: а) z 2; б) z -1; в) z | z |; г) x 2 - y 2 - 3 2 y + y 3 + i (2xy + x 3 - 3xy 2);
д) e z; е) cos z + (cos z).
1.22. Довести теорему: нехай функція f (z) регулярна в області D, що лежить у верхній півплощині Im z> 0, тоді функція f (z) регулярна в області D. симетричною D щодо дійсної осі.
1.23. Довести формули:
f 0 (z) = ∂ ∂ u x - i ∂ ∂ u y = ∂ ∂ y v + i ∂ ∂ x v.
1.24. Нехай функція f (z) регулярна в області D і її похідна дорівнює нулю у всіх точках області. Довести, що f (z) ≡ const.
1.25. Записати умови Коші-Рімана в полярних координатах.
1.26. Нехай функція f (z) регулярна в області D. Довести, що якщо одна з функцій:
u (x, y) = Re f (z), v (x, y) = Im f (z),
ρ (x, y) = | f (z) |, φ (x, y) = arg f (z),
cохраняющим в області D постійне значення, то і f (z) ≡ const.
Нехай задана речова частина u (x, y) регулярної функції f (z). Знаючи u (x, y), можна знайти v (x, y) - уявну частину функції, а тим самим і саму функцію f (z). Саме, в силу умов КошіРімана, диференціал функції v (x, y) дорівнює dv (x, y) = -u 0 y (x, y) dx + u 0 x (x, y) dy. знайти функцію
Тепер f (z) відома на відрізку дійсної осі: f (x) ≡ u (x, 0) + i v (x, 0). Це тотожність триває в комплексну область простою заміною x на z, тобто f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0).
Примітка. Для того, щоб функція u (x, y) була речовій або уявною частиною регулярної функції в області D, необхідно і достатньо, щоб вона була гармонійною. тобто двічі безперервно диференціюється і задовольняє рівняння Лапласа u 00 xx + u 00 yy = 0.
У завданнях 1.27 - 1.30 відновити регулярну функцію f (z) по заданій функції:
1.27. a) Re f = x 2 - y 2 + x, f (0) = 0; б) Im f = x 2 + x y 2.
1.28. Re f = e x (x cos y - y sin y) + 2 sin x sh y + x 3 - 3xy 2 + y. 1.29. Im f = ln (x 2 + y 2) + x - 2y. 1.30. | F | = (X 2 + y 2) e x.
У завданнях 1.31 і 1.32 з'ясувати, чи існують гармонійні функції зазначеного виду, і в разі існування - знайти їх, а також відповідну регулярну функцію f (z) = u + iv.
1.31. a) u = ψ (x); б) u = ψ (ax + by), де a і b - дійсні числа.
1.32. а) u = ψ (x 2 + y 2); б) u = ψ (x y); в) u = ψ (x 2 + y).
1.33. Знайти регулярні функції, у яких уздовж кожної лінії даного сімейства зберігає по-
стоячи значення: речова частина (1), або модуль (2), або аргумент (3): а) y = Cx; б) x 2 + y 2 = Cx; в) xy = C.
1.1.3 Степенние' ряди. ряд Тейлора
Статечної ряд має вигляд P c n (z - a) n. Кожен статечної ряд має свій радіус збіжності
R і коло збіжності | z - a | Сума статечного ряду S (z) є регулярна функція в колі збіжності. Всередині кола збіжності степеневий ряд можна почленно інтегрувати і почленно диференціювати. Радіус збіжності статечного ряду можна знайти за формулами Регулярна в колі | z - a | і таке розкладання єдине. Фактично радіус збіжності ряду Тейлора дорівнює відстані від точки a до найближчої особливої точки функції (див. Також параграф "Ряд Лорана і особливі точки функції"). Для розкладання функції в статечної ряд часто виявляються корисними наступні "основні" розкладання (Вказано також коло збіжності): = 1 + z + z 2 +. + Z n +.