Звернення матриці - математична енциклопедія - енциклопедії & словники

- алгоритм, який застосовується при чисельному знаходженні оберненої матриці. Як і в завданні рішення лінійних систем, методи чисельного обігу поділяються на прямі та ітераційні; проте ітераційні методи внаслідок їх трудомісткості грають тут істотно меншу роль.

Більшість прямих методів О. м. Засноване на ідеї розкладання заданої матриці в твір легко обертаються сомножителей. якщо

- таке розкладання, то

Типовим (і одним з найбільш уживаних) прямих методів О. м. Є метод Жордана (див. [1]).

Нехай А- невироджених матриця порядку п. Побудова зворотної матриці А -1 відбувається в пшагов; результатом k-го кроку буде матриця. перші кстолбцов к-рій збігаються з однойменними стовпцями одиничної матриці. Перехід від (нехай А = А 0) до с матричної точки зору еквівалентний множенню .слева на матрицю, к-раю відрізняється від одиничної лише (k + 1) -м стовпцем. Елементи цього шпальти вибираються так, щоб привести (k + 1) -й стовпець до одиничного, і мають вигляд

Отримання факторізовано уявлення (1) для оберненої матриці вимагає приблизно операцій множення і приблизно операцій додавання. Приблизно таке ж число додаткових операцій необхідно для того, щоб перемножити матриці в (1) і отримати явний вигляд. У багатьох додатках операції О. м. Використання факторізовано форми (1) настільки ж задовільно, що і явного виду. Напр. обчислення добутку, де b- вектор-стовпець, вимагає однакової арифметич. роботи в обох випадках. Однакові і вимоги до пам'яті при реалізації на ЕОМ.

У наведеному описі методу Жордана передбачалося для простоти, що всі елементи (звані провідними елементами) відмінні від нуля. Насправді метод Жордана, як і методи типу Гаусса для вирішення лінійних систем, як правило, застосовується з тією чи іншою схемою вибору провідних елементів. Використання такої схеми рівносильно введенню в (1) додаткових множників, які враховують перестановки рядків і стовпців оберненої матриці. Точність обчисленого рішення, як і в разі лінійних систем, залежить від ступеня зростання матричних елементів на проміжних етапах методу. Таке зростання і, отже, погіршення точності обчислюється рішення в методі Жордана, навіть при виборі ведучого елемента, більш вірогідні, ніж в методах типу Гаусса.

Нев'язкої, відповідної наближеною зворотного матриці Xдля А, наз. матриця. Має місце оцінка

Таким чином, норма невязки є оцінкою відносної точності наближеної оберненої матриці X. В цьому полягає важлива відмінність завдання чисельного О. м. Від завдання вирішення лінійних систем, де (напр. В ортогональних методах або методах типу Гаусса) невязка зазвичай мала, а якість отриманого рішення залежить від обумовленості системи.

Звернення ряду важливих класів матриць може бути досягнуто значно економічнішими, ніж в загальному випадку, методами. Такі тепліцеви, ганкелеви, стрічкові (і, зокрема, трехдіагональной) матриці, блокові матриці, мають тепліцеву структуру або структуру кронекерова твори, і т. Д. Напр. нехай Т- тепліцева матриця порядку n + 1 з елементами з Rілі З:

Передбачається, що не тільки Т, а й її головна подматріца порядку пневирождени. Тоді для матриці вже, взагалі кажучи, не є тепліцевой, справедливо уявлення (див. [2]):

При цьому вектори

суть відповідно перший і останній стовпці Таким чином, Тполностью визначається завданням першого і останнього стовпців. При необхідності з (2) можуть бути послідовно обчислені всі елементи

Це обчислення вимагає арифметич. операцій.

В економічних алгоритмах звернення тепліцевих. матриць (див. напр. [3]) обчислення проводиться по рекурентним формулами і також вимагає операцій. Умова невироджені головних підматриць може бути ослаблене зі збереженням порядку О (п 2) необхідної арифметич. роботи.