Зв’язок між групової та фазової швидкостями
У недіспергирующего середовищі
Поняття групової швидкості дуже важливо, так як саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, в системах управління космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова скоростьu
5. Інтерференція хвиль
Інтерференцією називається узгоджене перебіг у часі і просторі декількох хвильових процесів, в результаті складання яких виходить посилення або ослаблення результуючої хвилі.
Інтерференцію пов'язують з поняттям когерентності. Хвилі називаються когерентними, якщо різниця їх фаз в кожній точці простору залишається постійною в часі.
Нехай рівняння двох когерентних сферичних хвиль, що накладаються один на одного, задані у вигляді
S1 =
S2 =
Амплітуда результуючої хвилі
Так як для когерентних джерел різниця початкових фаз (1 2) = const, то результат складання коливань залежить від різниці ходу хвиль
Умова интерференционного максимуму
амплітуда ре-зуль-тірующего коливання
Умова интерференционного мінімуму
амплітуда результуючого коливання
mпорядок интерференционного максимуму або мінімуму.
стоячі хвилі
Стоячі хвилі є окремим випадком інтерференції і утворюються при накладенні двох хвиль, що біжать, поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами.
Склавши ці рівняння і враховуючи, що k = 2 / , отримаємо
Точки, в яких амплітуда коливань максимальна (Аст = 2А), називаютсяпучностямі стоячій хвилі, а точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю (Аст = 0), узламі стоячій хвилі.
координати пучностей
координати вузлів
Освіта стоячих хвиль спостерігається при інтерференції біжить, і відображеної хвиль. Що буде на кордоні відображення узел або пучность, залежить від співвідношення густин середовищ. Якщо середовище, від якої відбувається відображення, менш щільна, то в місці відображення виходить пучность, якщо щільніша - вузол. У разі стоячій хвилі енергія не переноситься.
Поширення поздовжнього хвильового імпульсу по пружності стрижня.
Характерною особливістю механічних хвиль є те, що вони поширюються в матеріальних середовищах (твердих, рідких або газоподібних). Існують хвилі, які здатні поширюватися і в порожнечі (наприклад, світлові хвилі). Для механічних хвиль обов'язково потрібне середовище, що володіє здатністю запасати кінетичну і потенційну енергію. Отже, середовище має володіти інертними і пружними властивостями. У реальних середовищах ці властивості розподілені по всьому об'єму. Так, наприклад, будь-який малий елемент твердого тіла має масу і пружністю. У простій одновимірної моделі тверде тіло можна уявити як сукупність кульок і пружинок (рис. 2.6.3).
Найпростіша одномірна модель твердого тіла.
У цій моделі інертні і пружні властивості розділені. Кульки мають масу m. а пружинки - жорсткістю k. За допомогою такої простої моделі можна описати поширення поздовжніх і поперечних хвиль у твердому тілі. У поздовжніх хвилях кульки відчувають зміщення вздовж ланцюжка, а пружинки розтягуються або стискаються. Така деформація називається деформацією розтягування або стиснення (див. §1.12). У рідинах або газах деформація такого роду супроводжується ущільненням або розрідженням.
Поздовжні механічні хвилі можуть поширюватися в будь-яких середовищах - твердих, рідких і газоподібних.
Якщо в одновимірної моделі твердого тіла один або кілька кульок змістити в напрямку, перпендикулярному ланцюжку, то виникне деформація зсуву. Деформовані при такому зміщенні пружини будуть прагнути повернути зміщені частки в положення рівноваги. При цьому на найближчі незсунені частки діятимуть пружні сили, які прагнуть відхилити їх від положення рівноваги. В результаті уздовж ланцюжка побіжить поперечна хвиля.
У рідинах і газах пружна деформація зсуву не виникає. Якщо один шар рідини або газу змістити на деяку відстань щодо сусіднього шару, то ніяких дотичних сил на кордоні між шарами не виникає. Сили, що діють на кордоні рідини і твердого тіла, а також сили між сусідніми шарами рідини завжди спрямовані по нормалі до кордону - це сили тиску. Те ж відноситься до газоподібному середовищі. Отже, поперечні хвилі не можуть існувати в рідкому або газоподібному середовищах.
Значний інтерес для практики представляють прості гармонійні або синусоїдальні хвилі. Вони характеризуються амплітудойA коливання частинок, частотойf і довжиною хвилі λ. Синусоїдальні хвилі поширюються в однорідних середовищах з деякою постійною швидкістю υ.
Зсув y (x. T) частинок середовища з положення рівноваги в синусоїдальної хвилі залежить від координати x на осі OX. уздовж якої поширюється хвиля, і від часу t за законом:
де - так називаемоеволновое число. ω = 2πf - кругова частота.
На рис. 2.6.4 зображені «моментальні фотографії» поперечної хвилі в два моменти часу: t і t + Δt. За час Δt хвиля перемістилася уздовж осі OX на відстань υΔt. Хвилі, всі крапки яких переміщаються з однієї і тієї ж швидкістю, прийнято називати біжать (на відміну від стоячих хвиль, див. Далі).
«Моментальні фотографії» біжить синусоїдальної хвилі в момент часу t і t + Δt.
Довжиною хвилі λ називають відстань між двома сусідніми точками на осі OX. хитаються в однакових фазах. Відстань, яка дорівнює довжині хвилі λ, хвиля пробігає за період Т, отже, λ = υT. де υ - швидкість поширення хвилі.
Для будь-якої обраної точки на графіку хвильового процесу (наприклад, для точки A на рис. 2.6.4) вираз ωt - kx не змінюється за величиною. З плином часу t змінюється і координата x цієї точки. Через проміжок часу Δt точка A переміститься по осі OX на деяку відстань Δx = υΔt. отже:
Модель. Поздовжні і поперечні хвилі.
Якщо механічна хвиля, що розповсюджується в середовищі, зустрічає на своєму шляху яку-небудь перешкоду, то вона може різко змінити характер своєї поведінки. Наприклад, на межі поділу двох середовищ з різними механічними властивостями хвиля частково відбивається, а частково проникає в другу середу. Хвиля, що біжить по гумовому джгута або струні відбивається від нерухомо закріпленого кінця; при цьому з'являється хвиля, що біжить в зустрічному напрямку. У струні, закріпленої на обох кінцях, виникають складні коливання, які можна розглядати як результат накладення (суперпозиції) двох хвиль, що поширюються в протилежних напрямках і відчувають відображення і переотражения на кінцях. Коливання струн, закріплених на обох кінцях, створюють звуки всіх струнних музичних інструментів. Дуже схоже явище виникає при звучанні духових інструментів, в тому числі органних труб.
Якщо хвилі, що біжать по струні у зустрічних напрямках, мають синусоїдальну форму, то за певних умов вони можуть утворити стоячу хвилю.
Нехай струна довжини l закріплена так, що один з її кінців знаходиться в точці x = 0, а інший - в точці x = l (рис. 2.6.5). У струні створено натяг T.
Освіта стоячій хвилі в струні, закріпленої на обох кінцях.
За струні одночасно поширюються в протилежних напрямках дві хвилі однієї і тієї ж частоти:
У точці x = 0 (один із закріплених кінців струни) падаюча хвиля y1 в результаті відображення породжує хвилю y2. При відображенні від нерухомо закріпленого кінця відбита хвиля виявляється в протифазі з падаючої. Згідно з принципом суперпозиції
Це і є стояча хвиля. У стоячій хвилі існують нерухомі точки, які називаються вузлами. Посередині між вузлами знаходяться точки, які коливаються з максимальною амплітудою. Ці точки називаються пучностями.
Обидва нерухомих кінця струни повинні бути вузлами. Наведена вище формула задовольняє цій умові на лівому кінці (x = 0). Для виконання цієї умови і на правому кінці (x = l), необхідно щоб kl = n π, де n - будь-яке ціле число. Це означає, що стояча хвиля в струні виникає не завжди, а тільки в тому випадку, якщо довжина l струни дорівнює цілому числу півхвиль:
Набору значень λn довжин хвиль відповідає набір можливих частот fn:
де - швидкість поширення поперечних хвиль по струні. Кожна з частоти пов'язаний з нею тип коливання струни називаетсянормальной модою. Найменша частота f1 називається основною частотою. всі інші (f2. f3. ...) називаються гармоніками. На рис. 2.6.5 зображена нормальна мода для n = 2.
У стоячій хвилі немає потоку енергії. Коливальна енергія, укладена в відрізку струни між двома сусідніми вузлами, що не транспортується в інші частини струни. У кожному такому відрізку відбувається періодичне (двічі за період Т) перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад як у звичайній коливальній системі. Але на відміну від вантажу на пружині або маятника, у яких є єдина власна частота струна має незліченною кількістю власних (резонансних) частотfn. На рис. 2.6.6 зображені кілька типів стоячих хвиль в струні, закріпленої на обох кінцях.
Перші п'ять нормальних мод коливань струни, закріпленої на обох кінцях.
Відповідно до принципу суперпозиції стоячі хвилі різних типів (т. Е. З різними значеннями n) можуть одночасно бути присутнім в коливаннях струни.