Зв’язані коливання - автоматизована інтернет-система формування баз даних репродуктивних і

Власні коливання пов'язаних систем

Зв'язані коливання - власні коливання в складній системі. що складається з пов'язаних між собою простих (парціальних) систем.

Особливості коливань в пов'язаних системах розглянемо на прикладі двох математичних або фізичних маятників. пов'язаних між собою пружиною.

Вільний математичний маятник, як відомо, володіє двома ступенями свободи. тобто для опису його руху потрібно два параметри - кути зсуву в двох взаємно перпендикулярних площинах. Система з двох маятників описується чотирма параметрами і, отже, має чотири ступені свободи. Якщо коливання, відповідні кожної ступені свободи, незалежні, то задача опису руху є чисто кінематичної. тобто завданням розкладання складного руху на суму більш простих рухів. Якщо між рухами по різних ступенів свободи є динамічна зв'язок, при якій збудження одного ступеня свободи викликає динамічні зміни у всіх інших ступенях свободи, то це призводить до обміну коливальної енергії між ступенями свободи, приводячи до нових фізичних явищ, відсутнім у системи незалежних маятників.

Як відомо, для вільного математичного маятника рівняння моментів буде

де J - момент інерції маятника. m, l - його маса і довжина відповідно, α - кут відхилення від положення рівноваги. У разі двох маятників, пов'язаних пружиною, на кожен маятник буде діяти додаткова сила з боку пружини Fсв. яка при невеликих відхиленнях може бути визначена із закону Гука

де l1 - відстань від точки кріплення маятника до точки кріплення пружини. Ця сила створює додатковий момент, діючий на кожен з маятників. У цьому випадку рівняння руху маятників матимуть вигляд

де враховано, що. У загальному випадку рівняння коливань в системі двох довільних пов'язаних маятників мають вигляд

тут x1. x2 - відхилення маятників від положення рівноваги, ω01. ω02 - частоти власних коливань маятників (парціальні частоти), λ1. λ2 - коефіцієнти, що визначають величину зв'язку між маятника. Як випливає з (2) - (4) для розглянутого випадку.

Рішення системи (3), (4) легко знайти за допомогою методу комплексних амплітуд, якщо припустити, що в ній можна порушити гармонійні коливання на деякій частоті ω. причому

,

де - комплексні амплітуди коливань маятників. Після підстановки (6) в (3), (4) отримаємо

де ζ = x20 / x10. Рішенням цієї системи алгебраїчних рівнянь є

Тут верхній знак перед коренем відноситься до ω1 і ζ1. а нижній - до ω2 і ζ2 Загальне рішення системи (3), (4) має вигляд

де амплітуди і фази A. B, ψ1. ψ2 визначаються початковими умовами, а частоти ω1. ω2 і коефіцієнти ζ1. ζ2 не залежить від початкових умов і визначаються тільки властивостями коливальної системи. Для випадку двох однакових пов'язаних маятників з (9) слід ζ1 = 1. ζ2 = -1.

Таким чином, хоча в загальному випадку довільне коливання маятників не є гармонійним. проте його завжди можна представити у вигляді суми двох гармонійних коливань з частотами ω1 і ω2. Ці коливання носять назву нормальних коливань (власних коливань системи), а частоти ω1 і ω2 - нормальних частот. Кожна нормальна коливання системи (його називають також модою коливань) є сукупністю коливань обох маятників, воно характеризується частотою ω1 або ω2. а також певним співвідношенням між амплітудами коливань кожного маятника (амплітуди відрізняються відповідно в ζ1 або ζ2 раз). Нормальні коливання можна виділити в будь-який коливальній системі, що складається з довільного числа маятників, якщо рух цієї системи описується системою рівнянь типу (3), (4). У тому випадку, коли в системі порушено одну нормальне коливання, кожен маятник коливається по гармонічному закону з частотою цього коливання, а амплітуди і фази коливань всіх вхідних в систему маятників однозначно пов'язані між собою.

Використовується в науково-технічних ефектах

Виходячи з визначення пов'язаних коливань - власні коливання в складній системі, що складається з пов'язаних між собою парціальних систем - можна сказати, що практично всі системи є пов'язаними. Питання в силі пов'язаності. Візьмемо як приклад маятник Фуко в паризькому Пантеоні. В цілому, очевидно, що маятник пов'язаний через кріплення зі стінами будівлі і строго кажучи, разом з маятником коливається і сама будівля. Але, зрозуміло, облік такого зв'язку практично недоцільний. Однак тут варто відзначити, що для проведення експериментів з маятником Фуко завжди вибирають найбільш масивну опору, і маятник як мінімум добу перед експериментом повинен провисеть на використовуваному підвісі.

Прикладами інших пов'язаних систем можуть служити молекули (атоми, які взаємодіють між собою), маятники, що коливаються навколо однієї осі (зв'язок здійснюється за допомогою пружних сил в осі), пов'язані електричні контури.

Схеми простих коливальних систем: а - індуктивний зв'язок; б - емкостная зв'язок; З - ємкості; L - індуктивності.

Проаналізуємо детально коливання в системі, зображеній на рис.1.

Система пружин з вантажами

Нехай ми зрушили ліву масу вправо на відстань s01. а праву масу залишили в незміщеної положенні (s02 = 0). Після відпускання обох вантажів в системі виникнуть коливання. Амплітуди мод складуть: s l 01 = s l 02 = s01 / 2; - s Il 01 = s Il 02 = -s01 / 2. Оскільки фази φI = φII = π / 2 (тому що початкові швидкості у вантажів відсутні), то зміщення

Виробляючи підсумовування тригонометричних функцій в (1), отримаємо:

Тимчасові залежності (2) зображені на рис.2.

Видно, що коливання кожної з мас мають форму биття. Період цих биття дорівнює

де частота биття

Якщо ввести середню частоту

,

то з цією частотою пов'язаний період коливань.

Завдання про двох пов'язаних системах має дуже істотне значення в оптиці.

Ми уявляємо собі, що в кожній молекулі газу знаходиться оптичний резонатор з певною частотою v. Світіння газу пояснюється тим, що резонатори коливаються з певною частотою і газ випромінює світло цієї частоти.

Нехай тепер на газ падає ззовні світлова хвиля. Під дією цієї хвилі резонатори приходять в коливання і поглинають енергію. Якщо період падаючої хвилі і період власних коливань не збігаються, резонатори коливаються слабо і поглинають мало. Якщо ж періоди збігаються, то вони коливаються сильно (резонанс) і поглинають багато енергії. У цьому полягає сенс закону Кірхгофа.

Переломлення пояснюється наступним чином. Коли резонатор коливається під дією падаючої хвилі, то він сам випромінює. Те, що ми бачимо, - це той світ, який пройшов крізь газ, плюс вторинне випромінювання, яке випустили резонатори під впливом падаючого світла. Якщо підрахувати результат такого додавання, то як раз виходить правильне значення показника заломлення.

Як пояснити, що в щільному газі спостерігається розширення спектральних ліній, розпливанню частоти? Виходячи з тільки що зазначених подань, ми отримуємо дуже проста відповідь: коли резонатори зближені, вони утворюють пов'язану систему. Така система має ряд різних нормальних частот. Частоти випускається світла відповідають цим нормальним частотам. Таким чином, сюди прямо переноситься то, що ми знаємо про пов'язаних системах. Зрозуміло, модель простого класичного резонатора тут безпосередньо не застосовується; атом набагато складніше. Але все риси резонансної теорії, по суті, зберігаються і в квантової теорії. Поведінка атома під дією зовнішньої сили надзвичайно близько до того, що ми знаємо з класичної моделі простого резонатора. Багато основні риси класичної інтерпретації дисперсії, абсорбції, випускання світла збереглися і в квантової теорії.

1. "Основи теорії коливань" Мігулін В.В, Медведєв В.І. Мустель О.Р. Паригін В.М. - М. Наука, 1978.

2. "Автоколивальні системи" Теодорчик К.Ф. - М. Гостехиздат, 1952.

3. "Введення в теорію коливань" Стрєлков С.П. - М. Наука, 1964.

Необхідна підтримка вбудованих фреймів.