Зрушення графіків функцій

Нам відомі такі функції і їх графіки як

• y = kx (пряма),
• y = kx 2 (парабола),
• y = k√x ( «половинка» параболи),
• y = k / x (гіпербола).

Зміна значення k впливає на вигляд графіка (ступінь крутизни в разі параболи), розташування гілок в координатних чвертях і ін. Однак точкою, через яку можна провести вісь симетрії графіків, є точка O з координатами (0; 0).

Якщо ж розглядати функцій, подібні перерахованим вище, у яких до змінної x або до всієї вихідної функції додається (або віднімається) будь-яке число, то графіки цих функцій залишаються такими ж як у вихідних, проте зміщуються відносно точки (0; 0).

Якщо позначити вихідні функції як y = f (x), то додаток до x числа дає функції виду y = f (x + l), а додаток до всієї вихідної функції значення дає вид y = f (x) + m.

Наприклад, якщо початкова функція y = 2x 2. то прикладом першого типу буде функція y = 2 (x + 5) 2. а другого - y = 2x 2 + 5.

Для функцій виду y = f (x + l) графік зміщується вліво на l одиниць, якщо l додається. Якщо ж l віднімається, то графік зміщується вправо. Дійсно, уявімо параболу функції y = x 2 і порівняємо її з функцією y = (x + 1) 2. Коли x = 1, то для першої функції y = 1, а для другої - y = 4. Коли x = 0, для першій y = 0, для другої y = 1. Коли x = -1, для першої y = 1, для другої y = 0.

Тобто графік другої функції стосується осі x в точці (-1; 0). Це означає, що графік зміщений вліво в порівнянні з вихідним на 1.

Для функцій виду y = f (x) + m графік відповідної функції y = f (x) зміщується на m одиниць, але вже по вертикальній осі (вісь y). Тут якщо m додається, то графік зсувається вгору. Якщо m віднімається, то графік зсувається вниз.

Розглянемо ту ж параболу y = x 2 і функцію y = x 2 + 1. Коли x = 0, перша приймає значення 0, а у другій y = 1. Отримати у другій функції значення y, що дорівнює 0, взагалі неможливо. Це означає, що парабола має точку симетрії з координатами (0; 1), т. Е. Зрушена від вихідної вгору на 1.

«Змішані» функції виду y = f (x + l) + m зсуваються вздовж осі x і y. Уздовж осі x вони зсуваються на l, а вздовж y - на значення m.