Знаходження нод негативних чисел
Якщо одне, декілька або всі числа, найбільший дільник яких потрібно знайти, є негативними числами, то їх НОД дорівнює найбільшому загальному дільнику модулів цих чисел. Це пов'язано з тим, що протилежні числа a і -a мають однакові дільники, про що ми говорили при вивченні властивостей подільності.
Знайдіть НСД негативних цілих чисел -231 і -140.
Модуль числа -231 дорівнює 231. а модуль числа -140 дорівнює 140. иноді (-231, -140) = НСД (231, 140). Алгоритм Евкліда дає нам такі рівності: 231 = 140 · 1 + 91; 140 = 91 · 1 + 49; 91 = 49 · 1 + 42; 49 = 42 · 1 + 7 та 42 = 7 · 6. Отже, НСД (231, 140) = 7. Тоді шуканий найбільший спільний дільник негативних чисел-231 і -140 дорівнює 7.
Визначте НСД трьох чисел -585. 81 і -189.
При знаходженні найбільшого загального дільника негативні числа можна замінити їх абсолютними величинами, тобто, НОД (-585, 81, -189) = НСД (585, 81, 189). Розкладання чисел 585. 81 і 189 на прості множники мають відповідно від585 = 3 · 3 · 5 · 13. 81 = 3 · 3 · 3 · 3 і 189 = 3 · 3 · 3 · 7. Спільними простими множниками цих трьох чисел є 3 і 3. Тоді НОД (585, 81, 189) = 3 · 3 = 9. отже, НОД (-585, 81, -189) = 9.
Корені многочлена. Теорема Безу. (33 і вище)
Кратні корені, крітерій кратності кореня.
Кратні корені многочленів
Визначення 1. Якщо в розкладанні многочлена -ступеня
,
деякі множники виявляться однаковими, то
,
то -називається коренем кратності, -кратностіі т.д.
Теорема 1. Якщо а є коренем многочленакратності, то для проізводнойето число є коренем кратності.
,
де не звертається в 0 при.
,
тобто є коренем кратності.
Слідство. Число а є коренем кратності для ..., коренем кратності 1 для.
Відділення кратних коренів.
Метод Штурма відділення коренів многочлена
Розглянемо приклад відділення коренів многочлена за методом Штурма на прикладі многочлена. Для застосування цього методу до многочлену потрібно скласти систему Штурма. Зауваження: многочлен повинен мати дійсні коефіцієнти і не мати кратних коренів. Правило побудова системи Штурма: 1) 2) Якщо відомі і, то буде дорівнює залишку від ділення на, узятим зі зворотним знаком:. Зауваження: В процесі ділення, на відміну від алгоритму Евкліда, залишок можна множити лише на довільне позитивне число (для того, щоб коефіцієнт при старшій ступеня був цілим або просто зручним), тому що знак залишку принципово важливий. Складемо систему Штурма для заданого многочлена 1) 2) Множимо залишок на 4 і беремо його з протилежним знаком. Отримаємо 3) Домножим на 25, поміняємо знак і отримаємо: 4)
Висновок: Многочлен має рівно дійсних кореня. Локалізуємо їх. Для цього продовжимо таблиці, вибравши «на око» точки для перевірки знаків многочленів системи. Першу точку потрібно взяти такий, щоб набір плюсів і мінусів був однаковий з, а наступні вигідні такі, при яких кількість змін знаків змінюється, причому таких змін повинно бути рівно стільки, скільки коренів має многочлен.