Збірник завдань з алгебри 1

Глава II. Прямі на площині.

§ 31. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай на площині, де є прямокутна декартова система координат, пряма l проходить через точку М0 паралельно направляючої вектору а (рис. 96).

Якщо пряма l перетинає вісь Ох (в точці N), то під кутом прямої l з віссю Ох будемо розуміти кут α, на який необхідно повернути вісь Ох навколо точки N в напрямку, протилежному обертанню годинникової стрілки, щоб вісь Ох збіглася з прямою l. (Мається на увазі кут, менший 180 °.)

Цей кут називають кутом нахилу прямої. Якщо пряма l паралельна осі Ох. то кут нахилу приймається рівним нулю (рис. 97).

Тангенс кута нахилу прямої називається кутовим коефіцієнтом прямої і зазвичай позначається буквою k:

Якщо α = 0, то і k = 0; це означає, що пряма паралельна осі Ох і її кутовий коефіцієнт дорівнює нулю.

Якщо α = 90 °, то k = tg α не має сенсу: це означає, що пряма, перпендикулярна осі Ох (т. Е. Паралельна осі Оу), не має кутового коефіцієнта.

Кутовий коефіцієнт прямої можна обчислити, якщо відомі координати двох будь-яких точок цієї прямої. Нехай дано дві точки прямої: M1 (x1; у1) і M2 (x2; у2) і нехай, наприклад, 0 <α <90°, а x2> x1. у2> в1 (рис. 98).

Тоді з прямокутного трикутника M1 РM2 знаходимо

Аналогічно доводиться, що формула (2) вірна і в разі 90 ° <α <180°.

Формула (2) втрачає сенс, якщо x2 - x1 = 0, т. Е. Якщо пряма l паралельна осі Оу. Для таких прямих кутовий коефіцієнт не існує.

Завдання 1. Визначити кутовий коефіцієнт примою, що проходить через точки
M1 (3; -5) і М2 (5; -7).

Підставляючи координати точок M1 і М2 в формулу (2), отримаємо

Завдання 2. Визначити кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки M1 (3; 5) і M2 (3; -2).

Так як x2 - x1 = 0, то рівність (2) втрачає сенс. Для цієї прямої кутовий коефіцієнт не існує. Пряма M1 M2 паралельна осі Оу.

Завдання 3. Визначити кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через початок координат і точку M1 (3; -5)

У цьому випадку точка M2 збігається з початком координат. Застосовуючи формулу (2), отримаємо

Складемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k. що проходить через точку
M1 (x1; у1). За формулою (2) кутовий коефіцієнт прямої знаходиться за координатами двох її точок. У нашому випадку точка M1 задана, а в якості другої точки можна взяти будь-яку точку М (х; у) шуканої прямої.

Якщо точка М лежить на прямій, яка проходить через точку M1 і має кутовий коефіцієнт k. то в силу формули (2) маємо

Якщо ж точка М не лежить на прямій, то рівність (3) не виконується. Отже, равенствo (3) і є рівняння прямої, що проходить через точку M1 (x1; у1) з кутовим коефіцієнтом k; це рівняння зазвичай записують у вигляді

Якщо пряма перетинає вісь Оу в деякій точці (0; b), то рівняння (4) набуває вигляду

Це рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k і початкової ординатою b.

Завдання 4. Знайти кут нахилу прямої √ 3 х + 3у - 7 = 0.

Наведемо дане рівняння до виду

Отже, k = tg α = - 1 / √3. звідки α = 150 ° ^

Завдання 5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку Р (3; -4), з кутовим коефіцієнтом k = 2/5

Завдання 6. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку Q (-3; 4) і складовою з позитивним напрямком осі Ох кут 30 °.

Якщо α = 30 °, то k = tg 30 ° = √ 3/3. Підставивши в рівняння (4) значення x1. y1 і k. отримаємо