Завдання споживчого ія споживчої переваги Стоуна

1. Функція корисності. Бюджетне обмеження. Формулювання завдання споживчого вибору .................................. ........................ .. .... 4

1.1 Рішення завдання споживчого вибору і його властивості ............... .7

1.1.1. Приклад рішення задачі споживчого попиту ................ 9

1.2. Загальна модель споживчого вибору ................................. ..10

2. Функція споживчої переваги Стоуна ......................... 12

Список використаної літератури ................................................. 15

Сучасна математика характеризується інтенсивним проникненням в інші науки, багато в чому цей процес відбувається завдяки поділу математики на ряд самостійних областей. Математика стала для багатьох галузей знань не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження і засобом гранично чіткого формулювання понять і проблем. Без сучасної математики з її розвиненим логічним і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес в різних областях людської діяльності.

Економіка як наука про об'єктивні причини функціонування і розвитку суспільства користується різноманітними кількісними характеристиками, а тому увібрала в себе велику кількість математичних методів.

Актуальність даної теми полягає в тому, що в сучасній економіці застосовуються оптимізаційні методи, які складають основу математичного програмування, сіткового планування, теорії масового обслуговування та інших прикладних наук.

Вивчення економічних програм математичних дисциплін, що складають основу актуальною економічної математики, дозволяє придбати деякі навички вирішення економічних завдань і розширити знання в цій галузі.

Метою даної роботи є вивчення деяких оптимізаційних методів, застосовуваних при вирішенні економічної завдань.

При написанні курсової роботи були поставлені наступні завдання:

Розгляд задачі споживчого вибору і складання математичної моделі;

Вивчення функції споживчої переваги Стоуна;

Практичне розв'язання задач.

1. Функція корисності. Бюджетне обмеження. Формулювання завдання споживчого вибору.

Будемо вважати, що споживач має доходом Q, який він повністю витрачає на придбання благ (продуктів) З огляду на структуру цін, дохід і власні переваги, споживач купує певну кількість благ, і математична модель такого його поведінки називається моделлю споживчого вибору.

У деяких завданнях виділяють один продукт, а другим вважають всі інші. Тому спочатку розглянемо модель з двома видами продуктів. Споживчий набір - це вектор (x1, x2), координата x1 якого дорівнює кількості одиниць першого продукту, а координата x2 дорівнює кількості одиниць другого продукту.

Вибір споживача характеризується відношенням переваги, суть якого полягає в наступному. Вважається, що споживач про кожні два набори може сказати, що-небудь один з них більш бажаний, ніж інший, або споживач не бачить між ними різниці. Відношення переваги транзитивно, тобто якщо набір А = (а1, а2) краще набору B = (b1, b2). а набір B = (b1, b2) краще набору С = (с1, с2), то набір А = (а1, а2) краще набору С = (с1, с2).

Функція корисності задовольняє наступним властивостям:

Зростання споживання одного продукту при постійному споживанні іншого продукту веде до зростання споживчої оцінки, тобто якщо x> x. то u (x, x2)> u (x, x2);

Перші приватні похідні u і u називаються предельниміполезностямі першого і другого продуктів відповідно.

Гранична корисність кожного продукту збільшується, якщо зростає кількість іншого продукту. У цьому випадку продукт, кількість якого фіксоване, виявляється щодо дефіцитним. Якщо блага можуть заміщати один одного в споживанні, властивість не виконується. u (x1, x2) = u12> 0, u (x1, x2) = u21> 0.

Лінія, що з'єднує споживчі набори (x1, x2). мають один і той же рівень задоволення потреб називається лінією байдужості. Лінія байдужості є не що інше, як лінія рівня функції корисності. Безліч ліній байдужості називається картою лінійбезразлічія. Лінії байдужості, що відповідають різним рівням задоволення потреб не перетинаються і не стосуються. Чим вище і правіше розташована лінія байдужості, тим більшого рівня задоволення потреб вона відповідає. Умови 1-3 означають, що лінія байдужості убуває і є опуклою вниз.

Завдання споживчого вибору полягає у виборі такого споживчого набору (х, х), який максимізує його функцію корисності при заданому бюджетному обмеженні.

Бюджетне обмеження означає, що грошові витрати на продукти не можуть перевищувати грошового доходу, тобто

Q - дохід споживача, який він готовий витратити на придбання першого і другого продуктів.

Завдання споживчого вибору має вигляд:

Допустиме безліч (тобто безліч наборів продуктів, доступних для споживача) є трикутник, обмежений осями координат і бюджетної прямої. На цій множині потрібно знайти точку, що належить кривій байдужості з максимальним рівнем корисності. Пошук цієї точки можна інтерпретувати графічно як послідовний перехід на лінії все більш високого рівня корисності до тих пір, поки ці лінії ще мають спільні точки з допустимим безліччю (Рис.1).

Рішення завдання споживчого вибору і його властивості.

Набір (х, х). який є рішенням задачі споживчого вибору, прийнято називати оптимальним для споживача.

Розглянемо деякі властивості завдання споживчого вибору. По-перше, рішення задачі (х, х) зберігається при будь-якому монотонному (тобто зберігає порядок значенні) перетворенні функції корисності u (x1, x2). Оскільки значення u (х, х), було максимальним на всьому допустимому безлічі, воно залишається таким і після монотонного перетворення функції корисності (допустиме безліч, яке визначається бюджетним обмеженням, залишається незмінним). Таким монотонним перетворенням може бути множення функції корисності на деяке позитивне число, зведення її в позитивну ступінь, логарифмирование.

По-друге, рішення задачі споживчого вибору не зміниться, якщо всі ціни і дохід збільшуються (зменшуються) в одне і те ж число раз λ. (Λ> 0)

Це рівнозначно множенню на позитивне число λ обох частин бюджетного обмеження p1x1 + p2x2≤Q. що дає нерівність, еквівалентну вихідному. Оскільки ні ціни, ні дохід Q не входять до функцію корисності, завдання залишається тією ж, що і спочатку.

Якщо на якомусь споживчому наборі (x1, x2) бюджетне обмеження p1x1 + p2x2≤Q буде виконуватися у вигляді строгої нерівності, то ми можемо збільшити споживання будь-якого з продуктів і тим самим збільшити функцію корисності. Отже, набір (х, х). максимізує функцію корисності, повинен звертати бюджетне обмеження в рівність, тобто

Графічно це означає, що рішення (х, х) завдання споживчого вибору має лежати на бюджетній прямій, яка проходить через точки перетину з осями координат, де весь дохід витрачатися на один продукт: (0,) і (, 0).

Отже, завдання споживчого вибору можна замінити завданням на умовний екстремум (бо рішення (х, х) цих двох завдань одне і те ж):

Для вирішення цього завдання можна застосувати метод Лагранжа. Виписуємо функцію Лагранжа

знаходимо її приватні похідні по змінним x1, x2 і λ. які прирівнюємо до нуля:

Виключивши з отриманої системи невідому λ, отримаємо систему двох рівнянь з двома невідомими x1, і x2.

Рішення (х, х) цієї системи є критична точка функції Лагранжа. Підставивши рішення (х, х) в ліву частину рівності:

отримаємо, що в точці (х, х) відношення граничних корисностей u (х, х) і u (х, х) продуктів дорівнює відношенню ринкових цін p1 і p2 на ці продукти:

У зв'язку з тим, що відношення дорівнює граничній нормі заміни першого продукту другим в точці локального ринкової рівноваги (х, х). з (5.1) випливає, що ця гранична норма дорівнює відношенню ринкових цін на продукти. Наведений результат відіграє важливу роль в економічній теорії.

Геометрично рішення (х, х) можна інтерпретувати як точку дотику лінії байдужості функції корисності u (x1, x2) з бюджетної прямої p1x1 + p2x2 = Q. Це залежить від того, що ставлення = - показує тангенс кута нахилу лінії рівня функції корисності, а відношення - представляє тангенс кута нахилу бюджетної прямої. Оскільки в точці споживчого вибору вони рівні, то в цій точці відбувається дотик даних двох ліній.

1.1.1. Приклад рішення задачі споживчого вибору.

Вирішимо задачу споживчого вибору.

Оптимальний набір споживача становить 6 од. продукту х1і 8 од. продукту х2. Визначте ціни споживаних благ, якщо відомо, що дохід споживача дорівнює 240 руб. Функція корисності споживача має вигляд: u (x1, x2) = x.

Рішення. Виходячи з принципу рішення, отримуємо систему рівнянь:

Загальна модель споживчого вибору.

Була розглянута модель споживчого вибору з двома продуктами і її рішення за допомогою методу множників Лагранжа. Зараз розглянемо властивості завдання споживчого вибору з довільним числом продуктів і цільовою функцією загального вигляду.

Будемо вважати, що неотрицательность змінних забезпечується властивостями цільової функції і бюджетного обмеження. В цьому випадку можна записати функцію Лагранжа і досліджувати її на безумовний екстремум:

Необхідна умова екстремуму - рівність нулю приватних похідних: L = u + λpi = 0 для всіх i [1; n] і L = px-Q = 0. Звідси випливає, що для всіх i в точці х ринкової рівноваги виконується рівність:

яке виходить після перенесення других доданків, необхідних умов в праву частину і розподілом i-го рівності на j-е. Отже, в точці оптимуму відношення граничних корисностей будь-яких двох продуктів дорівнює відношенню їх ринкових цін. Рівність (5.3) можна переписати і в іншій формі:

Це означає, що корисність, що припадає на одиницю грошових витрат, в точці оптимуму однакова за всіма видами благ. Якби це було не так, то, по крайней мере, одну грошову одиницю можна було б перерозподілити так, щоб зріс добробут (значення функції корисності) споживача. Якщо для деяких i, j існує нерівність:

то деяку кількість грошей можна було б перерозподілити від i -го продукту до j-му, збільшивши рівень добробуту.

2. Функція споживчої переваги Стоуна.

Виведемо тепер функцію попиту для конкретної функції споживчої переваги, званої функцією Р.Стоуна. Ця функція має вигляд:

аi - мінімально необхідну кількість i-го продукту, що придбавається в будь-якому випадку і не є предметом вибору.

Для того щоб набір ai> міг бути повністю придбаний, необхідно, щоб дохід Q був більше (кількості грошей), необхідного для покупки цього набору. Коефіцієнти ступеня аi> 0 характеризують відносну «цінність» продуктів для споживача.

Додавши до цільової функції (5.5) бюджетні обмеження:

отримаємо задачу, яка називається моделлю Стоуна. Як було сказано на стор. 6, бюджетне обмеження має звертатися в рівність. Складемо функцію Лагранжа:

Знайдемо приватні похідні функції Лагранжа і прирівняємо їх до нуля:

Аналогічно отримуємо інші приватні похідні, тобто .:

Помноживши кожне з рівності (5.6) на λpi і підсумувавши їх по i, маємо:

Оскільки в точці оптимуму бюджетне обмеження виконується як рівність, замінимо на Q, отримаємо:

Поділивши на λ. отримаємо:

Отриманий вираз підставляємо в рівність (5.6):

Тобто спочатку купується мінімально необхідну кількість продукту ai. Потім розраховується сума грошей, що залишається після цього, яка розподіляється пропорційно «ваг» важливості i. Розділивши кількість грошей на ціну pi. отримуємо додатково купується, понад мінімум, кількість i- продукту і додаємо його до аi. [1]

У роботі наводиться завдання споживчого вибору, рішення якої зводиться до вирішення завдань на умовний екстремум. Також розглянуто окремий випадок завдання споживчого вибору - модель Стоуна.

Мною були вирішені завдання на умовний екстремум методом підстановки і способом множників Лагранжа, задача споживчого вибору.

Я вважаю, що знання цієї теми може стати в нагоді не тільки економістам і людям, спеціально займаються цією наукою, але і ненауковим працівникам, тому що в житті часто доводиться стикатися з рішенням подібного роду завдань.

Список використаної літератури:

Реалізація моделі Стоуна в сістемеMathCAD

Позначимо мінімально необхідну кількість благ за А:

При заданих параметрах а, α, р і I ми визначимо оптимальний набір (,) і значення функції корисності в цій точці (х1, х2, U):

Отримаємо оптимальне значення при споживчому наборі (4,3; 8,5), що означає придбання індивідом 4,3 одиниці першого блага і 8,5 одиниць другого блага (мінімально необхідну кількість благ дорівнює 1 і 3 одиницям). При цьому співвідношенні досягається максимальне значення функції переваги Стоуна - 3,75 одиниць.

Побудуємо графічну інтерпретацію моделі Стоуна на підставі початкових даних, обчисленого значення U і теоретичних формул для лінії байдужості і бюджетної лінії: