Завдання для самостійного рішення

Зауважимо, що для пов'язаних гіпербол загальними елементами є допоміжний «прямокутник» і асимптоти.

Приклад 4. Написати рівняння гіперболи з півосями a і b (a> 0, b> 0), якщо відомо, що її головні осі паралельні координатним осях. Визначити основні параметри гіперболи.

Рішення. Шукане рівняння можна розглядати як рівняння гіперболи яке виходить в результаті паралельного перенесення старої системи координат на вектор де (x0. Y0) - центр гіперболи в «старій» системі координат. Тоді, використовуючи співвідношення між координатами довільної точки М площині в заданій і перетвореної системах

отримаємо рівняння гіперболи

Визначимо параметри. Центр гіперболи визначає точка O ¢ (x0; y0), а значить, дійсна вісь задається рівнянням x = x0, а уявна - рівнянням y = y0. Її вершинами є точки. а асимптотами є прямі. Половина междуфокусного відстані Тоді фокуси гіперболи знаходяться в точках. ексцентриситет

Директриси D1 і D2 задаються рівняннями

Приклад 5. Написати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах еліпса. а фокуси - в вершинах цього еліпса.

Рішення. Рівняння означає, що фокусами еліпса є точки а вершини, що лежать на головній осі, знаходяться в точках (так як).

Тоді для шуканої гіперболи відомо, що

Значить, основні параметри гіперболи є:

Використовуючи дану інформацію, приходимо до рівняння гіперболи