Залежні і незалежні події, ймовірність добутку двох подій

Розглянемо два випадкових події A і B. І визначимо третя подія C як

Тоді подія C можна трактувати як одночасна поява і події A і події B в ході експерименту. Взагалі союз "і" в теорії ймовірностей можна (але дуже уважно) трактувати як математичне множення. Розглянемо приклади твори двох випадкових подій. Впадають два гральних кубика і розглядаються події:

A - випадання числа 3 на 1-му кубику;

B - випадання числа 2 на 2-му кубику.

Тоді подія можна трактувати як одночасне випадання числа 3 на першому кубику і числа 2 на другому. Тут слід зазначити один важливий момент: що розглядаються події A і B не залежать одне від одного, тобто незалежно від того, яке число випало на 1-му кубику ніяк не впливає на число, яке випаде на другому, і навпаки. У теорії ймовірностей події, появи яких не впливають на виникнення інших подій, в ході проведення експерименту, називаються незалежними. І для незалежних подій ймовірність

Другий приклад. Припустимо, є урна з 2 чорними і 3 білими кульками. Кулі послідовно виймаються виймаються з урни (і не кладуться назад в неї). Виділимо дві події:

A - вийняли біла куля;

B - вийняли чорний кулю.

В цьому випадку подія інтерпретується так: спочатку вийняли біла куля, а потім чорний. Обчислимо ймовірність виникнення події C. Очевидно, що вихідні ймовірності подій A і B, рівні:

Але в цьому завданні є один нюанс. Так як ми вважаємо ймовірність події, в якому спочатку вибирається біла куля, а потім чорний, то ймовірність другої події (події B) зміниться, коли подія A відбудеться, тому що в урні стане на один шар менше і білих куль буде 2. Тоді ймовірність події B, за умови, що подія A вже сталося дорівнюватиме

і називається умовною ймовірністю події B, а події A і B - залежними подіями. У підсумку отримуємо, що ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює

Тут слід зазначити, що ймовірність добутку двох залежних подій в загальному вигляді записується так

Дійсно, в нашому прикладі не важливо в якому порядку буде вийнято білий і чорний кулі, головне, щоб в результаті виявилося, що одна куля білий, а інший - чорний, це і буде подія.

Таким чином, при обчисленні ймовірність добутку двох подій необхідно визначити чи є вони залежними чи ні, а потім використовувати одну з двох формул розрахунку.