За теорією ймовірностей - контрольна робота
1. В ящику 2 білих і 4 чорних кулі. Один за іншим виймаються всі наявні в ньому кулі. Знайти ймовірність того, що останній шар буде чорним.
Позначимо: А - подія, що полягає в тому, що останній витягнутий з ящика куля - чорний.
Імовірність випробування, що полягає в тому, що останній витягнутий кулю - чорний, дорівнює ймовірності звичайного випробування, що полягає в вилученні з ящика одного кулі:
Тоді дане випробування має 6 рівно можливих випадків:,
З них сприяють події А елементарних результату.
Тоді, використовуючи класичне визначення ймовірності, маємо:
- ймовірність того, що останній витягнутий кулю буде чорним.
2. У партії товару, що складається з 30 чоловічих пальт, знаходиться 20 виробів місцевого виробництва. Товарознавець навмання вибирає 3 вироби. Яка ймовірність того, що всі 3 вироби виявляться:
а) місцевого виробництва; б) місцевого виробництва.
а) Імовірність того, що з 3 відібраних виробів все три виявляться місцевого виробництва,
знайдемо за формулою:
- число способів, якими можна витягти 3 вироби місцевого виробництва з 20 (це сприятливі наслідки)
- - число способів, якими можна витягти 3 вироби з 30, (це все можливі наслідки).
Тоді. - ймовірність того, що з 3 відібраних виробів все три виявляться місцевого виробництва.
б) Імовірність того, що з 3 відібраних виробів все три виявляться не місцевого виробництва,
знайдемо за формулою:
- число способів, якими можна витягти 3 вироби не місцевого виробництва з 30-20 = 10 (це сприятливі наслідки)
- - число способів, якими можна витягти 3 вироби з 30, (це все можливі наслідки).
Тоді. - ймовірність того, що з 3 відібраних виробів все три виявляться не місцевого виробництва.
3. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - державні органи, 30% - інші банки, інші - фізичні особи. Ймовірності неповернення взятого кредиту відповідно такі: 0,01, 0,05 і 0,2. Знайти ймовірність неповернення чергового запиту на кредит. Начальнику кредитного відділу доповіли, що отримано повідомлення про неповернення кредиту, але в факсимільному повідомленні ім'я клієнта було нерозбірливо. Яка ймовірність, що даний кредит не повертає якийсь банк?
Позначимо через А подію «кредит не повернуто»
H1 - кредит не повернули державні органи.
H2 - кредит не повернув якийсь банк.
H3 - кредит не повернули фізичні особи.
Ймовірності гіпотез H1. H2 і H3 згідно з умовою, рівні
Умовні ймовірності події А при цих гіпотезах, згідно з умовою рівні
Тоді використовуємо формулу повної ймовірності:
- ймовірність того, кредит не буде повернутий.
Імовірність того, що кредит не повернув якийсь банк, знайдемо за формулою Байеса:
4. Яка ймовірність випадання хоча б двох шісток при трьох киданнях гральної кістки?
Позначимо через А подію «на гральної кістки випало 6 очок»
Імовірність цієї події визначається наступною формулою:
, де - число всіх рівно можливих випадків (випадання 1,2,3,4,5, і 6 очок). - число сприятливих результатів (випадання 6 очок).
Випадання при трьох киданнях хоча б двох шісток означає випадання двох або трьох шісток.
По теоремі додавання ймовірностей:
Для того, щоб знайти ймовірність випадання двох і трьох шісток при трьох киданнях гральної кістки, скористаємося формулою Бернуллі
ймовірність зворотного події:
Тоді: - ймовірність випадання хоча б двох шісток при трьох киданнях гральної кістки
5. Схожість насіння даної рослини дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 900 посаджених насіння: а) проросте рівно 700; б) число пророслих укладено між 790 і 830.
а) Знайдемо ймовірність того, що проросте рівно 700 насіння:
Скористаємося локальної теоремою Лапласа:
і можна вважати,
Тобто ймовірність події, що з 900 посаджених насіння проросте рівно 700, близька до нуля.
б) Знайдемо ймовірність того, що число пророслих насіння укладено між 790 і 830:
За умовою: - ймовірність схожості насіння,
Так як значення і великі, скористаємося нерівністю Чебишева:
Імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування буде менше деякого числа:
Граничні значення, симетричні щодо, тому від нерівності можемо перейти до нерівності
Або, порівнюємо з і отримуємо:
Значення знайдемо за формулою:, де
6. Інвестор купує цінні папери за рахунок позики, взятого з процентною ставкою г під заставу нерухомості. Відсоткова ставка на цінні папери X - випадкова величина з МХ = а, a> r, DX =
а) за допомогою методу регресії визначте тривалість підготовки, необхідну для нового працівника у віці 30 років.
Позначимо - вік працівника, - час підготовки
б) Визначимо коефіцієнт кореляції за формулою:
- кореляційний момент, характеризується наступним рівнянням:
Математичні очікування і визначаємо за формулами:
Тоді кореляційний момент:
Коефіцієнт кореляції відмінний від нуля, отже, величини корелюють.
9. Надходження страхових внесків до 130 філій страхових організацій в регіоні А склало 26 · 104 у. е. в регіоні В на 100 філій довелося 18 · 104 у. е. Дисперсія величини страхових внесків у регіоні А дорівнює 39 · 108 (у. е.) 2. в регіоні В - 25 · 108 (у. е.) 2. На рівні значущості а = 0,05 визначте, чи істотно розрізняється середня величина надходження страхових внесків у регіонах А та В з розрахунку на 1 філію.
За умовою нам відомі такі дані:
Для того щоб при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу: про рівність математичних очікувань двох нормально розподілених сукупностей, треба обчислити спостережуване значення критерію:
І по таблиці функції Лапласа знайти критичну точку з рівності
Якщо - немає підстав відкинути нульову гіпотезу.
Якщо - нульову гіпотезу відкидають.
Спочатку визначимо середні і
використовуючи таблицю Лапласа визначимо критичну точку:
Порівнюючи і. отримуємо:
Значить, немає підстав відкидати гіпотезу про рівність математичних очікувань даних розподілів.
Значить, відмінність середніх величин надходження страхових внесків в регіонах А та В з розрахунку на 1 філію не істотні.
Відповідь. середні величини надходження страхових внесків
розрізняються несуттєво
10. Компанію з прокату автомобілів цікавить залежність між перебігом автомобілів (Х) і вартістю щомісячного технічного обслуговування (Y). Для з'ясування характеру зв'язку з цим було відібрано 15 автомобілів.
Побудуйте графік вихідних даних і визначте по ньому характер залежності. Розрахуйте вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції Пірсона, перевірте його значимість при а = 0,05. Побудуйте рівняння регресії і дайте інтерпретацію отриманих результатів.
Графік вихідних даних:
Як видно з графіку, залежність між величинами X і Y можна прийняти як лінійну.
Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції Пірсона