Властивості щільності ймовірності правити

Щільність ймовірності визначена майже всюди. Якщо є щільністю ймовірності і майже всюди щодо міри Лебега, то і функція також є щільністю ймовірності.

Інтеграл від щільності по всьому простору дорівнює одиниці:

.

Назад, якщо - невід'ємна п.в. функція, така що, то існує абсолютно безперервна імовірнісна міра на така, що є її щільністю.

Заміна заходи в інтегралі Лебега:

,

де будь-яка борелевская функція, інтегрована щодо імовірнісної міри.

Дисперсія, види і властивості дисперсії Поняття дисперсії

Дисперсія в статистиці знаходиться як середнє відхилення індивідуальних значень ознаки в квадраті від середньої арифметичної. Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої і зваженої дисперсії:

1. Проста дисперсія (для несгруппірованних даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n - частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На даній сторінці описаний стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете ознайомитись з іншими завдання на її знаходження

Приклад 1. Визначення групової, середньої з групової, груповий і загальної дисперсії

Приклад 2. Знаходження дисперсії і коефіцієнта варіації в группіровочних таблиці

Приклад 3. Знаходження дисперсії в дискретному ряду

Приклад 4. Є такі дані по групі з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки і вивчити його дисперсію

Побудуємо интервальную угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max- максимальне значення группировочного ознаки; X min-мінімальне значення группировочного ознаки; n - кількість інтервалів:

Приймаємо n = 5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо интервальную угруповання

Для подальших розрахунків побудуємо допоміжну таблицю:

X'i- середина інтервалу. (Наприклад середина інтервалу 159 - 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за формулою:

Формулу можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата і середньої.

Дисперсія в варіаційних рядах з рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другого властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначенні дисперсії. обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i - величина інтервалу; А - умовний нуль, в якості якого зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою; m1 - квадрат моменту першого порядку; m2 - момент другого порядку

Дисперсія альтернативної ознаки (якщо в статистичної сукупності ознака змінюється так, що є тільки два взаємно виключають один одного варіанту, то така мінливість називається альтернативної) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи в цю формулу дисперсії q = 1 р, отримуємо:

види дисперсії

Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки по всій сукупності в цілому під впливом всіх факторів, що обумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х і може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Внутригрупповая дисперсія характеризує випадкову варіацію, тобто частина варіації, яка обумовлена ​​впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або як зважена дисперсія.

Таким чином, внутригрупповая дисперсія вимірює варіацію ознаки всередині групи і визначається за формулою:

де хi - групова середня; ni - число одиниць в групі.

Наприклад, внутрішньо групові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації вироблення в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами і матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо .), крім відмінностей в кваліфікаційному розряді (всередині групи все робочі мають одну і ту ж кваліфікацію).

Середня з всередині групових дисперсій відображає випадкову варіацію, т. Е. Ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за формулою:

Межгрупповая дисперсія характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена ​​впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Межгрупповая дисперсія розраховується за формулою: