Властивості кореня n-го ступеня

§41. Властивості кореня n-го ступеня

Щоб успішно використовувати на практиці операцію вилучення кореня. треба бути обізнаним з властивостями цієї операції, що ми і зробимо в цьому параграфі.

Всі властивості формулюються і доводяться тільки для невід'ємних значень змінних, що містяться під знаками коренів.

Доведення. Введемо наступні позначення: Нам треба довести, що для невід'ємних чисел х, у, z виконується рівність х-Уz.
Так як
Отже, Але якщо ступеня двох невід'ємних чисел рівні і показники ступенів рівні, то рівні і підстави ступенів; значить, з рівності x n = (Уz) п слід, що х-Уz, а це й потрібно було довести.

Наведемо коротку запис доведення теореми.

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли подкоренное вираз являє собою твір більш ніж двох невід'ємних чисел.
2. Теорему 1 можна сформулювати, використовуючи конструкцію "якщо. То» (як це прийнято для теорем в математиці). Наведемо відповідне формулювання: якщо а і b - невід'ємні числа, то справедливо рівність Наступну теорему ми саме так і оформимо.

Коротка (хоча і неточна) формулювання, яку зручніше використовувати на практиці: корінь з дробу дорівнює дробу від коренів.

ВИ, звичайно, звернули увагу на те, що доведені дві властивості коренів п-го ступеня є узагальненням відомих вам з курсу алгебри 8-го класу властивостей квадратних коренів. І якби інших властивостей коренів п-го ступеня не було, то як би все було просто (і не дуже цікаво). Насправді є ще кілька цікавих і важливих властивостей, які ми обговоримо в цьому параграфі. Але спочатку розглянемо кілька прикладів на використання теорем 1 і 2.

Приклад 1. Обчислити
Рішення. Скориставшись першим властивістю коренів (теорема 1), отримаємо:

Зауваження 3. Можна, звичайно, цей приклад вирішити по-іншому, особливо якщо у вас під рукою є мікрокалькулятор: перемножити числа 125, 64 і27, а потім витягти кубічний корінь з отриманого твори. Але, погодьтеся, запропоноване рішення «интеллигентнее».
Приклад 2. Обчислити
Рішення. Звернемо змішане число в неправильну дріб.
Маємо Скориставшись другим властивістю коренів (теорема 2), отримаємо:

Приклад 3. Обчислити:
Рішення. Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не тільки «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перша властивість коренів означає, що можна представити у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом. Те саме можна сказати і до другого властивості коренів. З огляду на це, виконаємо обчислення:

Приклад 4. Виконати дії:
Рішення. а) Маємо:
б) Теорема 1 дозволяє нам множити тільки коріння однаковою мірою, тобто тільки коріння з однаковим показником. Тут же пропонується помножити корінь 2-го ступеня з числа а на корінь 3-го ступеня з того ж числа. Як це робити, ми поки не знаємо. Повернемося до цієї проблеми пізніше.
Продовжимо вивчення властивостей радикалів.

Іншими словами, щоб звести корінь в натуральну ступінь, досить звести до цього степеня подкоренное вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 одержуємо: Точно так само можна міркувати в разі будь-якого іншого натурального значення показника к.

Зауваження 4. Давайте переведемо дух. Чого ми навчилися завдяки доведеним теорем? Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня (з кореня). А як же йде справа зі складанням і відніманням коренів? Ніяк. Про це ми говорили ще в 8-му класі з приводу операції вилучення квадратного кореня.

Наприклад, замість можна написати Справді, Але ж очевидно, що Будьте уважні!
Саме, мабуть, цікаве властивість коренів - це те, про який піде мова в наступній теоремі. З огляду на особливу значущість цієї властивості, ми дозволимо собі порушити певний стиль формулювань і доказів, вироблений в цьому параграфі, з тим щоб формулювання теореми 5 була трохи «м'якше», а її доказ - зрозуміліше.

(Показники кореня і подкоренного вираження розділили на 4);

(Показники кореня і подкоренного вираження розділили на 3);

(Показники кореня і подкоренного вираження помножили на 2).

Доведення. Позначимо ліву частину доказуваного рівності буквою Тоді за визначенням кореня має виконуватися рівність

Позначимо праву частину доказуваного тотожності буквою у:

Тоді за визначенням кореня має виконуватися рівність

Зведемо обидві частини останнього рівності в одну і ту ж ступінь р; отримаємо:

Отже (див. Рівності (1) і (2)),

Зіставляючи ці два рівності, приходимо до висновку, що х nр = у nр. а значить, х = у, що й треба було довести.
Доведена теорема дозволить нам вирішити ту проблему, з якою ми зіткнулися, коли задача прикладу 5, де було потрібно виконати множення коренів з різними показниками:

Ось як зазвичай міркують в подібних випадках.
1) По теоремі 5 в вираженні можна і показник кореня (тобто число 2) і показник подкоренного вираження (тобто число 1) помножити на одне і те ж натуральне число. Скориставшись цим, помножимо обидва показники на 3; отримаємо:
2) По теоремі 5 в вираженні можна і показник кореня (тобто число 3) і показник подкоренного вираження (тобто число 1) помножити на одне і те ж натуральне число. Скориставшись цим, помножимо обидва показники на 2; отримаємо:

3) Оскільки отримали коріння однієї і тієї ж 6-го ступеня, то можна їх перемножити:

Зауваження 5. Ви не забули, що все властивості коренів, які ми обговорювали в цьому параграфі, розглянуті нами тільки для випадку, коли змінні приймають лише невід'ємні значення? Чому довелося зробити таке обмеження? Тому, що корінь п-го ступеня з негативного числа не завжди має сенс - він визначений тільки для непарних значень п. Для таких значень показника кореня розглянуті властивості коренів вірні і в разі негативних підкореневих виразів.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.