властивості ймовірності

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.

3. Імовірність випадкової події укладена між нулем і одиницею.

4. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

3) Класичне визначення ймовірності безпосередньо застосовується лише до дослідам, які мають кінцеве число рівно можливих випадків.

Однак його можна поширити і на деякі досліди, які мають безліч рівно можливих випадків. Це можна застосовувати в задачах, що зводяться до випадкового кидання точки на кінцеву ділянку прямої, площини, простору або на об'єднання кінцевих ділянок прямої, площини, простору.

Якщо можливість появи точки всередині деякої області визначається не положенням цієї області і її межами, а тільки її мірою, тобто довжиною, площею, об'ємом, то ймовірність появи випадкової точки всередині деякої області знаходиться як відношення міри цієї області до міри всій області, в якій може з'явитися дана точка. Це визначення ймовірності називається геометричним.

Нехай на площині задана квадрованою область, тобто область має площу. Позначимо цю область буквою. а її площа (рисунок 1.2.1).

В область навмання кинута точка. Будемо вважати, що кинута точка може потрапити в деяку частину області c ймовірністю, пропорційної площі цієї частини і не залежить від її форми і розташування. Нехай подія - «попадання кинутої точки в область», тоді геометрична ймовірність цієї події визначається формулою:

Аналогічно вводиться поняття геометричної ймовірності при киданні точки в просторову область обсягу. містить область обсягу:

У загальному випадку поняття геометричної ймовірності вводиться наступним чином. Позначимо міру області (довжину, площу, обсяг) через. а міру області - (- перші три букви французького слова mesure, що означає міра); позначимо літерою подія - «попадання кинутої точки в область. яка міститься в області ». Тоді ймовірність цієї події визначається формулою:

Зауваження 1.1.1. Визначення ймовірності, яка визначається формулою (1.2.6), підходить і для класичного випадку, так як мірою події є число елементарних подій, що складають дане.

Наведемо приклади розв'язання задач з використанням наведених формул.

Приклад 1.2.1. В урні 10 однакових за розміром і вагою куль, з яких 4 червоних і 6 блакитних. З урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що витягнутий куля виявиться блакитним?

Рішення. Подія - «витягнутий кулю виявився блакитним», позначимо літерою. Дане випробування має 10 рівно можливих елементарних фіналів, з яких 6 сприяють події. Відповідно до формули (1.2.1) отримуємо:.

Приклад 1.2.2. Всі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і поміщені в урну. Після ретельного перемішування карток з урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним 5?

Рішення. Позначимо через подія - «число на взятій картці кратно 5». В даному випробуванні є 30 рівно можливих елементарних фіналів, з яких події сприяють 6 випадків (числа 5,10,15,20,25,30). Отже,.

Приклад 1.2.3. Підкидаються два гральних кубика, підраховується сума очок на верхніх гранях. Знайти ймовірність події. що складається в тому, що на верхніх гранях кубиків в сумі буде 9 очок.

Рішення. У цьому випробуванні за все рівно можливих елементарних фіналів (див. Табл.1.1.1). Події сприяють 4 виходи: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), тому.

Приклад 1.2.4. З букв слова диференціал навмання вибирається одна буква. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) гласною, б) згодної, в) буквою?

Рішення. У слові диференціал 12 букв, з них 5 голосних і 7 приголосних. Букви в цьому слові немає. Позначимо події: - «голосна буква», - «згодна буква», - «буква». Число сприятливих елементарних фіналів: - для події. - для події. - для події. Оскільки. то,

Приклад 1.2.5. Підкидаються два гральних кубика, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що імовірніше: отримати в сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: - «випало 7 очок», - «випало 8 очок». Події сприяє 6 елементарних фіналів: (1; 6), (2; 5), (3, 4), (4, 3), (5; 2), (6; 1), а події - 5 випадків: (2 ; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всіх рівно можливих елементарних наслідків для обох подій буде одне і те ж число, а саме, Значить,; . Отже,. отже, подія більш ймовірне, ніж подія.

Приклад 1.2.6. З 500 узятих навмання деталей виявилося 8 бракованих. Знайти відносну частоту бракованих деталей.

Рішення. Так як в даному випадку. . то відповідно до формули (1.2.2) знаходимо:

Приклад 1.2.7. Серед 1000 новонароджених виявилося 515 хлопчиків. Чому дорівнює відносна частота народження хлопчиків?

Рішення. Оскільки в даному випадку,. . то.

Приклад 1.2.8. При стрільбі по мішені відносна частота влучень. Знайти число влучень при 40 пострілах.

Рішення. З формули (1.2.2) випливає, що. Так як то

Таким чином, було отримано 30 влучень.

Приклад 1.2.9. Серед 300 деталей, виготовлених на автоматичному верстаті, виявилося 15 деталей, що не відповідають стандарту. Знайти відносну частоту появи нестандартних деталей.

Рішення. В даному випадку . . тому

Приклад 1.2.10. Контролер, перевіряючи якість 400 виробів, встановив, що 20 з них відносяться до другого сорту, а решта - до першого. Знайти відносну частоту виробів першого сорту, відносну частоту виробів другого сорту.

Рішення. Перш за все, знайдемо число виробів першого сорту: 400-20 = 380. Таким чином, відносна частота виробів першого сорту Відносна частота виробів другого сорту

Приклад 1.2.11. У коло вписаний квадрат (рисунок 1.2.2). До кола навмання кидається точка. Яка ймовірність того, що точка потрапить в квадрат?

Рішення. Введемо позначення: - радіус кола, - сторона вписаного квадрата, подія - «попадання точки в квадрат», - площа кола, - площа вписаного квадрата. Як відомо, площа круга. Сторона вписаного квадрата через радіус описаного кола виражається формулою. тому площа квадрата.

Для закріплення даної теми пропонуємо вирішити наступні завдання.

1. Навмання вибрано натуральне число, яке не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число кратно 3?

2. В урні червоних і блакитних кульок однакових за розміром і вагою. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання витягнутий кулю з цієї урни виявиться блакитним?

3. Навмання вибрано натуральне число, яке не перевищує 50. Яка ймовірність того, що це число є простим?

4. Підкидається три гральних кубика, підчитують сума очок на верхніх гранях. Що імовірніше - отримати в сумі 9 або 10 очок?

5. підкидають три гральних кубика, підраховується сума випали очок. Що імовірніше - отримати в сумі 11 (подія) або 12 очок (подія)?

6. Відділ технічного контролю виявив 10 нестандартних виробів в партії з 1000 виробів. Знайдіть частоту виготовлення бракованих виробів.

7. Для з'ясування якості насіння було відібрано і висіяно в лабораторних умовах 100 штук, з них 95 насіння дали нормальні сходи. Яка частота нормальних сходів насіння?

8. Знайдіть відносну частоту появи простих чисел в наступних відрізках натурального ряду: а) від 21 до 40; б) від 41 до 50; в) від 51 до 70.

9. Знайдіть відносну частоту появи шістки при 90 підкидання грального кубика (мається на увазі проведення досвіду з підкиданням кубика і фіксуванням появи шістки.)

10. На площині накреслені два концентричних кола, радіуси яких 6 см і 12 см відповідно. Яка ймовірність того, що точка, кинута у велике коло, потрапить в кільце, утворене зазначеними колами?

11. У коло радіуса вписаний правильний трикутник. Знайти ймовірність того, що точка, кинута в це коло, потрапить в даний трикутник.

12. У куля вписана правильна трикутна піраміда. Точка навмання зафіксована в кулі. Знайти ймовірність попадання точки в піраміду.

13. Стрижень довжиною довільним чином зламаний на три частини. Яка ймовірність того, що з цих частин можна скласти трикутник?

1); 2); 3); 4) - ймовірність отримати в сумі 9 очок; - ймовірність отримати в сумі 10 очок; ; 5). . ; 6) 0,01; 7) 0,95; 0,05; 8) а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2; 10); 11). Вказівка. Сторона трикутника через радіус описаного кола виражається формулою; 12). Вказівка. ; 13) 0,25.

Питання для самоперевірки

1. Що називають ймовірністю події?

2. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?

3. Чому дорівнює ймовірність неможливого події?

4. В яких межах укладена ймовірність будь-якої події?

5. Яке визначення ймовірності називають класичним?