Властивість дотичної і січною, трикутники

Теорема про пропорційність відрізків січної і дотичної

(Властивість дотичної і січною, проведених з однієї точки)

Для дотичній і січною до кола, проведених з однієї точки, квадрат відстані від цієї точки до точки дотику дорівнює добутку довжини січної на довжину її зовнішньої частини.

Іншими словами, квадрат відстані від даної точки до точки дотику дорівнює добутку відстаней від цієї точки до точок перетину січної з окружністю.

Дано. окр. (O; R), AK - дотична, AB - січна,

окр. (O; R) ∩AK = K, (O; R) ∩AB = B, C

Проведемо хорди BK і CK.

Розглянемо трикутники ABK і AKC.

У них ∠A - загальний.

(Як вписаний кут. Спирається на дугу CK).

Значить, трикутники ABK і AKC подібні (за двома кутами).

З подоби трикутників слід пропорційність їх відповідних сторін:

За основним властивості пропорції

Що й потрібно було довести .

Коло з центром на стороні AC трикутника ABC проходить через вершину C і стосується прямої AB в точці B. Знайти AC, якщо діаметр кола дорівнює 15, а AB = 4.

ΔABC, B, C ∈ окр. (O; R) O∈AC, AB - дотична, AB = 4, FC - діаметр, FС = 15

По властивості дотичній і січною, проведених з однієї точки,

Нехай AF = x, тоді AC = x + 15. Складемо і вирішимо рівняння:

Другий корінь не підходить за змістом завдання. Отже, AC = 1 + 15 = 16.