Власні коливання, форми коливань, частоти коливань - автоматизована інтернет-система
Власні коливання, форми коливань, частоти коливань
Власними (вільними) коливаннями називаються коливання, які відбуваються в системі під час відсутності змінних зовнішніх впливів і виникають внаслідок початкового відхилення одного з параметрів системи від стану рівноваги. У реальних макроскопічних системах через втрату енергії вільні коливання завжди затухають.
При малих відхиленнях від стану рівноваги руху системи задовольняють принципом суперпозиції. згідно з яким сума двох довільних рухів також становить допустиму рух системи; такі рухи описуються лінійними (зокрема, диференціальними) рівняннями. Якщо система ще й консервативна (в ній немає втрат або припливу енергії ззовні), а її параметри не змінюються в часі, то будь-який власне коливання може бути однозначно представлено як сума нормальних коливань синусоидально незмінний в часі з певними власними частотами.
Якщо положення системи в будь-який час може бути описано єдиним параметром, то система має одну ступінь свободи. Приклади таких систем: маятник. коливається в заданій площині, маса, пов'язана з пружиною, LC-ланцюжок (рис.1). Дійсно, положення маятника може бути визначено кутом відхилення нитки маятника від вертикалі φ. Для LC-ланцюжка таким параметром може служити величина заряду на ємності. (Маятник. Здатний коливатися в будь-якому напрямку подібно гирі, підвішеною на нитки, має два ступені свободи; потрібні дві координати, щоб задати його положення. Маятник в стінному годиннику закріплений так, що може гойдатися тільки в певній площині і тому має одну ступінь свободи) .
Системи з одним ступенем свободи
У природі існує безліч цікавих систем, що мають два ступені свободи. Найбільш красиві приклади молекул і елементарних частинок (особливо нейтральних К-мезонів). Більш простими прикладами є подвійний маятник (один маятник підвішений до опори, а другий-до гирі першого маятника); два маятника. пов'язані пружиною; горизонтальна нитка з двома кульками; дві пов'язані LC-ланцюга (рис. 2). Щоб описати стан таких систем, потрібні дві змінні. наприклад,
в разі сферичного маятника ці змінні - це положення маятника в двох взаємно перпендикулярних напрямках. У разі пов'язаних маятників ці змінні відповідають положенням кожного маятника; для двох пов'язаних LC-ланцюгів представляють собою заряди на двох ємностях або струми в обох ланцюгах.
Системи з двома ступенями свободи
У загальному випадку рух системи з двома ступенями свободи може мати дуже складний вид, не схожий на просте гармонійне рух.
Для двох ступенів свободи і при лінійних рівняннях руху найбільш загальний рух є суперпозицією двох незалежних простих гармонійних рухів, що відбуваються одночасно. Ці два простих гармонійних руху називаються нормальними або власними коливаннями або гармоніками, а також нормальними модами коливань або просто модами.
У коливальних системах з зосередженими параметрами, що складаються з N зв'язаних осциляторів (наприклад ланцюжок з коливальних електричних контурів або з з'єднаних пружними пружинками кульок), число нормальних мод одно N. В системах з розподіленими параметрами (струна, мембрана, по¬лий або відкритий резонатор) таких коливань існує безліч. Наприклад, для струни із закріпленими кінцями довжиною L моди відрізняються числом напівхвиль, які можна укласти на всій довжині струни; L = nλ / 2 (n = 0, 1, 2.). Якщо швидкість поширення хвиль уздовж струни дорівнює v. то спектр власних частот визначиться формулою
Наявність дисперсії хвиль (v = v (ω)) спотворює це просте квазідістантное розподіл частот, спектр яких визначиться вже з дисперсійного рівняння:
У реальних системах власні коливання будуть затухати через втрати, тому їх можна вважати приблизно гармонійними лише в інтервалі часу, меншому 1 / δ. Загасаюче коливання може бути представлено у вигляді пакету гармонійних коливань, безперервно заповнюють інтервал частот (ω0 ± δω) (інтеграл Фур'є), тим вужчим, ніж менше δ. В цьому випадку говорить про розширенні спектральної лінії, іноді характеризує її добротністю Q. рівній відношенню зарасенной енергії W до втрат P за період коливань 2π / ω. Таким чином згущення спектра через втрати тягне за собою перетворення дискретного спектра в суцільний, коли ширина ліній стає приблизно дорівнює інтервалу між ними.
Власні колебаніянелінейних систем менш доступні для класифікації. Нелінійність систем з дискретним спектром власних частот призводить до перекачування енергії по спектральним компонентів: при цьому виникають процеси конкуренції мод - виживання одних і придушення інших. Дисперсії можуть стабілізувати ці процеси і принести до формування стійких просторово тимчасових утворень, прикладами яких в системах з безперервним спектром є солітони.
Особливе значення при порушенні коливань має явище резонансу. що складається в різкому збільшенні відгуку системи (амплітуди коливань) при наближенні частоти зовнішнього впливу до деякої резонансній частоті. характеризує систему. Якщо остання лінійна і параметри її не залежать від часу, то резонансні частоти збігаються з частотами її власних коливань і відповідний відгук тим сильніше, чим вище добротність коливальної системи. Розгойдування відбувається до тих пір, поки енергія, яку вносить ззовні (наприклад, при кожному відхиленні маятника), перевищує втрати за період осциляції. Для лінійних коливань енергія, що отримується від джерела, пропорційна першого ступеня амплітуди, а втрати зростають пропорційно її квадрату, тому баланс енергій завжди досяжний.
Використовується в науково-технічних ефектах
Вимірювання вільних коливань виробляють, зазвичай з метою отримання інформації щодо власних форм і частот, а також швидкості загасання коливань. Такі вимірювання проводять, наприклад, при льотних випробуваннях головних зразків літаків, причому початкове обурення створюється вибухом невеликих зарядів. Інший, більш поширений спосіб полягає в різкому переміщенні ручок управління. Раніше вільні коливання літака при наземних випробуваннях іноді порушували шляхом швидкого зняття статичного навантаження. За допомогою натягнутої мотузки крило виводилося з положення рівноваги; потім мотузка перерізав, і можна було спостерігати вільні коливання.
Частоти, форми і коефіцієнти загасання вільних коливань фактично характеризують "динамічну індивідуальність" системи. Тому якщо ми маємо достатньої інформації щодо цих характеристик системи, то можна сподіватися, що вдасться передбачати поведінку системи в різних умовах.
Динамічна індивідуальність системи в значній мірі визначає її поведінку при порушенні коливань. Механічні системи поводяться так, як якщо б вони прагнули безперервно здійснювати вільні коливання з відповідними власними частотами. У нормальних умовах це неможливо через наявність тертя, однак при дії деякого збудження коливання будуть підтримуватися.
Коливальний контур - електричне коло, що містить паралельно з'єднані котушку індуктивності і конденсатор. В такому колі можуть збуджуватися коливання струму (і напруги).
Напруга, що виникає в котушці при зміні струму, що протікає одно
Аналогічно для струму, викликаного зміною напруги на конденсаторі:
Оскільки все виникає в котушці напруга падає на конденсаторі, то uL = uC. а струм, викликаний конденсатором проходить через котушку, то iC = iL. Диференціюючи одне з рівнянь і підставляючи результат в інше, одержуємо
Це рівняння гармонічного осцилятора з круговою частотою
(Інакше вона називається власною частотою гармонічного осцилятора). Рішенням такого рівняння є
Розглянемо коливальні властивості пружинного маятника, що представляє собою матеріальну точку маси m. з'єднану невагомою пружиною жорсткістю k з нерухомим підвісом (рис.1).
Нехай l0 - довжина пружини в ненагружённом стані. Якщо на пружину підвісити вантаж маси m. то під дією сили тяжіння пружина розтягнеться і її довжина стане рівною l. Якщо вантаж і пружина знаходяться в рівновазі, то сила тяжіння врівноважена силою пружності. Відраховуючи координату матеріальної точки від положення рівноваги. рівняння руху пружини можна записати у вигляді
- частота власних незатухаючих коливань або власна частота.
1. Мігулін В.ВОснови теорії коливань М. Наука, 1978.
2. Теодорчик К.Ф. Автоколивальні системи М. Гостехиздат, 1952.
3. Стрільців С.П. Введення в теорію коливань М. Наука, 1964.
Необхідна підтримка вбудованих фреймів.