Власні числа речової симетричною матриці
Дійсне число # 955; і вектор z називаються власною парою матриці A, якщо вони задовольняють наступній умові: Az = # 955; z. При цьому для речовій матриці A може бути поставлена задача пошуку тільки власних чисел, або як власних чисел, так і векторів.
У разі, якщо речова матриця A розміром NxN симетрична, у неї є N власних чисел (не обов'язково різних) і N відповідних їм власних векторів, що утворюють ортонормованій власний базис (в загальному випадку власні вектори НЕ ортогональні, причому їх може бути і менше, ніж N).
Теорема Гамільтона-Келі: Будь-яка квадратна матриця задовольняє своєму характеристическому рівняння.
Безпосередня перевірка виправдовує це твердження для матриці порядку 2:
Тоді: c (A) = A2 - (a11 + a22) A + (a11a22 - a12a21) E =
Тема 4. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Системи лінійних рівнянь, їх типи.
Лінійними операціями над будь-якими об'єктами називаються їх додавання і множення на число.
Лінійною комбінацією змінних називається результат застосування до них лінійних операцій, тобто де числа, змінні.
Лінійним рівнянням називається рівняння виду (2.1), де і b - числа, - невідомі.
Таким чином, в лівій частині лінійного рівняння варто лінійна комбінація невідомих, а в правій - число.
Лінійне рівняння називається однорідним. якщо b = 0. В іншому випадку рівняння називається неоднорідним.
Системою лінійних рівнянь (лінійною системою) називається система виду: (2.2)
де. - числа, - невідомі, n - число невідомих, m - число рівнянь.
Рішенням лінійної системи (2.2) називається набір чисел які при підстановці замість невідомих звертають кожне рівняння системи в правильну рівність.
Теорема Крамера: Правилом Крамера називають формули для знаходження рішення системи з n рівнянь з n невідомими і детермінантою відмінним від 0.
Даний метод також застосуємо тільки в разі систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.
Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0. det A ¹ 0;
Дійсно, якщо будь-яке рівняння системи є лінійна комбінація інших, то якщо до елементів будь-якого рядка додати елементи іншого, помножені на будь-яке число, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульову рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнює нулю.
Теорема (правило Крамера) Система з n рівнянь з n невідомими
в разі, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдине рішення і це рішення знаходиться за формулами: xi = Di / D, де D = det A, а Di - визначник матриці, одержуваної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi .
Ранг матриці - це максимальний порядок відмінного від нуля мінору.
Мінором матриці порядку s називається визначник матриці, утвореної з елементів вихідної матриці, що знаходяться на перетині будь-яких обраних s рядків і s стовпців. У матриці порядку m'n мінор порядку r називається базисним. якщо він не дорівнює нулю, а все мінори порядку r + 1 і вище дорівнюють нулю, або не існує зовсім, тобто r збігається з меншим з чисел m або n. Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються базисними. У матриці може бути кілька різних базисних мінорів, що мають однаковий порядок.
Визначення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.
Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
Треба відзначити, чторавние матриці і еквівалентні матриці - поняття абсолютно різні.
Теорема.Наібольшее число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.
Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.
Приклад. Визначити ранг матриці.
Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдається знайти матрицю, еквівалентну вихідної, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці слід починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У наведеному вище прикладі - це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору.