Визначник квадратної матриці
Для кожної квадратної матриці вводиться важлива її числова характеристика, звана визначником цієї матриці. Правило, за яким за елементами даної квадратної матриці довільного порядку обчислюється її визначник, досить складно, тому будемо вводити це правило «поступово», підвищуючи порядок визначника. Поки ж обмежимося таким неконструктивним визначенням.
Кожній квадратній матриці можна по деякому правилу поставити у відповідність число, яке називається визначником (або детермінантом) даної матриці. Для визначника квадратної матриці A. загальний вигляд якої
застосовуються різні позначення.
Зазначимо найбільш уживані: det A, D. D (А) або розгорнуте, в якому перераховуються всі елементи даної матриці
Прямі риси, які замінять круглі (матричні) дужки, вказують на те, що мається на увазі саме визначник матриці, тобто однина, а не сама матриця A.
Будемо підходити до суворому визначенню визначника, розглянувши це правило послідовно для визначників матриць 1-го, 2-го і 3-го порядків.
Визначником матриці 1-го порядку називається число, яке дорівнює єдиному наявному матричному елементу цієї матриці. Визначення настільки просте, що немає необхідності ілюструвати його прикладом.
Визначник матриці 2-го порядку: якщо А =. то
Розглянемо визначник матриці 3-го порядкаА =.
Для обчислення визначника іменнотретьего порядку є спрощена формула
яка схематично (для запам'ятовування) записується так:
- перші три складові (беруться зі знаком +)
- останні 3 складові (беруться зі знаком -)
Приклад. Знайдемо за спрощеною схемою визначник матриці.
Для того щоб визначити правило обчислення визначників порядку вище, ніж 3, введемо спочатку деякі нові об'єкти.
Мінором елемента матриці aij (позначається Мij) називається значення визначника матриці, що виходить з даної матриці викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент (тобто викреслюванням i -ої рядки і j-го стовпця).
Алгебраїчним доповненням елемента матриці aij (позначається Аij) називається число, яке визначається за формулою
Оскільки (-1) в цілій степені приймає всього два значення (1 - якщо показник ступеня є парне число і (-1) - якщо непарне), то алгебраїчне доповнення елемента матриці або нічим не відрізняється від мінору цього елемента (якщо сума його нижніх індексів - тобто сума номерів рядка і стовпця - є парне число) або відрізняється від мінору тільки знаком (якщо сума нижніх індексів непарна).
Приклад. Знайти мінори та алгебраїчні доповнення всіх елементів матриць
Спочатку шукаємо мінори всіх елементів.
З огляду на формулу і пояснення для цієї формули, отримуємо такі алгебраїчні доповнення
Визначником квадратної матриці (будь-якого порядку!) Називається число, яке дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Для обчислення визначників матриць більш високого (чим третього) порядку спрощеної схеми немає, тому доступне лише, даний у визначенні: вибирається рядок або стовпець матриці і обчислюється сума попарних творів відповідних елементів матриці на їх алгебраїчні доповнення. При цьому обчислення алгебраїчних доповнень - самий трудомісткий етап. Але оскільки рядок (або стовпчик) можна вибирати довільно (результат від цього не залежить), то простіше вибрати ту, серед елементів якої якомога більше нульових. При цьому алгебраїчні доповнення нульових елементів можна не брати до уваги, так як при складанні згаданої вище суми попарних творів відповідні складові все одно звернуться в нуль.
Приклад. Обчислити визначник 4-го порядку:.
Рішення. Найбільша кількість нулів у кожному з рядків або стовпців дорівнює 2. Тому для обчислення визначника вибираємо будь-який рядок або стовпець з двома нулями. Виберемо, наприклад, перший стовпець (при цьому говорять, що визначник буде розкладатися по на одну колонку):
З'явилися два визначника 3-го порядку можна вважати за наведеною вище спрощеною схемою.
Якщо серед елементів матриці нулів мало (або немає зовсім), то можна спеціальними діями привести визначник до такого виду, у якого є рядок (або стовпчик), в якої відмінний від нуля тільки один елемент. Після цього визначник легко обчислюється розкладанням по цьому рядку (стовпцю). Привести визначник до такого виду допомагають властивості визначників, розглянуті нижче.
1. Визначник не змінюється при транспонировании.
2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
3. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.
4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.
5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на деяке число k, то сам визначник множиться на k.
6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.
7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків ai j = bj + cj (j =), то визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj. в іншому - з елементів cj.
8. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.
Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.
Визначення рангу матриці.
Розглянемо прямокутну матрицю m xn. Якщо в цій матриці виділити довільно k рядків і k стовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k -го порядку. Визначник цієї матриці називається мінор k-го порядку матриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангом матриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r. то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r. але всякий мінор порядку, більшого ніж r. дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення
0 £ r (A) £ min (m, n).
Ранг матриці перебуває або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до минорам вищого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k + 1) -го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.
Приклад. Знайти методом облямівки миноров ранг матриці.
Рішення. Починаємо з миноров 1-го порядку, тобто з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М1 = 1, розташований в першому рядку і першому стовпці. Облямовуючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, одержуємо мінор M2 =. відмінний від нуля. Переходимо тепер до минорам 3-го порядку, оздоблюють М2. Їх всього два (можна
додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: = 0. Таким чином, всі оздоблюють мінори третього порядку виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.
6. Елементарні перетворення матриці.
Елементарними називаються такі перетворення матриці:
1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),
2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,
3) додаток до одного рядка (або стовпця) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.
Дві матриці називаються еквівалентними. якщо одна з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.
Еквівалентні матриці не є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, то це записується так: A
Канонічної матрицею називається матриця, у якої на початку
головній діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких
може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю,
наприклад,.
За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.
Приклад. Знайти ранг матриці А = і привести її до канонічного вигляду.
Рішення. З другого рядка віднімемо першу і переставимо ці рядки: .Тепер з другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 2 і 5:; з третього рядка віднімемо другу; отримаємо матрицю В =. яка еквівалентна матриці А, так як отримана з неї за допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці В дорівнює 2, а отже, і r (A) = 2. Матрицю В легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, окрім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:.
Розглянемо квадратну матрицю
Позначимо D = det A.
Квадратна матриця А називається невироджених, або неособенной. якщо її визначник відмінний від нуля, і вироджених, або особливою. якщо D = 0.
Квадратна матриця В називається оберненою для квадратної матриці А такого ж порядку, якщо їх твір А # 903; В = В # 903; А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і матриці А і В.
Теорема. Для того, щоб матриця А мала зворотний, необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля.
Матриця, зворотна матриці А, позначається через А - 1. так що В = А - 1. Зворотній матриця обчислюється за формулою
де А ij - алгебраїчні доповнення елементів a ij.
Обчислення оберненої матриці за формулою для матриць високого порядку дуже занадто багато, тому на практиці буває зручно знаходити зворотний матрицю за допомогою методу елементарних перетворень (ЕП). Будь-яку неособенную матрицю А шляхом ЕП тільки стовпців (або тільки рядків) можна привести до одиничної матриці Є. Якщо скоєні над матрицею А ЕП в тому ж порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А і Е одночасно, записуючи обидві матриці поруч через риску. Відзначимо ще раз, що при знаходженні канонічного виду матриці з метою знаходження її рангу можна користуватися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворень слід використовувати тільки рядки або тільки стовпці.
Приклад. Для матриці А = знайти зворотну.
Рішення. Знаходимо спочатку детермінант матриці А
D = det А = = 27 ¹ 0, значить, зворотна матриця існує і ми її можемо знайти за формулою: А - 1 = 1 / D. де Аi j (i, j = 1,2,3) - алгебраїчні доповнення елементів аi j вихідної матриці. маємо:
Приклад. Методом елементарних перетворень знайти зворотну матрицю для матриці: А =.
Рішення. Приписуємо до вихідної матриці справа одиничну матрицю того ж порядку:.
За допомогою елементарних перетворень стовпців наведемо ліву "половину" до одиничної, здійснюючи одночасно точно такі перетворення над правою матрицею.
Для цього поміняємо місцями перший і другий стовпці:
До третього одну додамо перший, а до другого - перший, помножений на -2:.
З першого стовпчика віднімемо подвоєний другий, а з третього - помножений на 6 другий:.
Додамо третій стовпець до першого і другого:.
Помножимо останній рядок на -1:. Отримана праворуч від вертикальної риси квадратна матриця є зворотною до даної матриці А.
Питання для самоконтролю:
1. Дайте визначення матриці.
2. Яка матриця називається діагональною?
3. Сформулюйте поняття одиничної матриці.
4. Які операції над матрицями ви знаєте?
5. Дайте поняття квадратної матриці.
6. Які матриці називаються узгодженими?
7. Дайте визначення визначника квадратної матриці.
8. Вкажіть формули для обчислення визначників другого і третього порядків.
9. Сформулюйте основні властивості визначника.
10. Перелічіть способи обчислення визначника?
11. Дайте визначення рангу матриці.
12. Яка матриця називається канонічної?
13. Сформулюйте поняття еквівалентної матриці.
14. Які елементарні перетворення матриці ви знаєте?
15. Вкажіть необхідна і достатня умова для існування оберненої матриці.
16. Запишіть формулу для обчислення зворотної матриці.