Визначений інтеграл

Нехай дана функція. певна на відрізку [a; b], де a

Ця сума називається інтегральною сумою функції на відрізку [a; b].

Позначимо частковий відрізок найбільшої довжини. Будемо збільшувати число розбиття відрізка [a; b] на часткові відрізки, тобто n → ∞, не змінюючи довжину самого відрізка [a; b]. При цьому → 0. Знайдемо при цих умовах. Межа часткової суми, якщо він існує, не залежить ні від способу розбиття відрізка [a; b] на часткові відрізки, ні від вибору точок на них. Ця межа називається певним інтегралом від функції на відрізку [a; b] і позначається:

Числа a і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, f (x) - підінтегральна функція, f (x) dx - підінтегральний вираз, х - змінна інтегрування, [a; b] - область інтегрування.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна на відрізку [a; b], то визначений інтеграл існує.

Безперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості. Однак, певний інтеграл може існувати і для деяких розривних функцій, зокрема, для будь-якої обмеженою на відрізку функції, що має на ньому кінцеве число точок розриву.

З визначення певного інтеграла слідують властивості:

- визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування = =. так як інтегральна сума не залежить від того, якою буквою позначити її аргумент;

- визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю. так як довжина відрізка дорівнює нулю;

- для будь-якого дійсного числа з:. так як при цьому.