Висота трикутника

Висота трикутника - опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині сторону або на її продовження.

Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці).

Розташування ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника.

У остроугольного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Рис.1).

У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Рис.2).

У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Рис.3).

У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються.

У рівностороннього трикутника всі три «чудові» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «чудових» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «чудових» ліній, тобто теж збігаються.

Висота трикутника - опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежних вершіні БІК або на ее продовження.

Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетінаються в одній точці, яка назівається ортоцентром. Для того, щоб найти точку перетин висот, Досить провести две висоти (две Прямі перетінаються только в одній точці).

Розміщення ортоцентра (точка О) візначається видом трикутника.

У гострокутного трикутника точка перетин висот знаходиться в площіні трикутника. (Мал.1).

У прямокутній трикутника точка перетин висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2).

У тупоугольного трикутника точка перетин висот находится за площинах трикутника (Мал.3).

У рівнобедреного трикутника медіана, бісектріса и висота, проведені до основи трикутника, збігаються.

У рівностороннього трикутника всі три «помітні» Лінії (висота, бісектріса и медіана) збігаються и три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги и центру вписаного и описаного Кіл) знаходяться в одній точці Перетин «помітніх» ліній, тобто теж збігаються.

Завдання на подобу трикутників.

У прямокутному трикутнику ABC (кут C = 90 0) проведена висота CD. Визначте CD, якщо AD = 9 см, BD = 16 см

Трикутники ABC, ACD і CBD подібні між собою. Це безпосередньо випливає з другої ознаки подібності (рівність кутів у цих трикутниках очевидно).

Прямокутні трикутники - єдиний вид трикутників, які можна розрізати на два трикутника, подібних між собою і вихідного трикутника.

Позначення цих трьох трикутників в такому порядку проходження вершин: ABC, ACD, CBD. Тим самим ми одночасно показуємо і відповідність вершин. (Вершини A трикутника ABC відповідає також вершина A трикутника ACD і вершина C трикутника CBD і т. Д.)

Трикутники ABC і CBD подібні. значить:

AD / DC = DC / BD, тобто

Завдання на застосування теореми Піфагора.

Трикутник ABC є прямокутним. При цьому C-прямий кут. З нього проведена висота CD = 6 см. Різниця відрізків BD-AD = 5 см.

Знайти: Сторони трикутника ABC.

1. Складемо систему рівнянь відповідно до теореми Піфагора

Оскільки BD-AD = 5, то

BD = AD + 5, тоді система рівнянь набуває вигляду

Складемо перше і друге рівняння. Оскільки ліва частина додається до лівої, а права частина до правої - рівність не буде порушено. Отримаємо.

36 + 36 + (AD + 5) 2 + AD 2 = AC 2 + BC 2

72+ (AD + 5) 2 + AD 2 = AC 2 + BC 2

2.Теперь, глянувши на початковий креслення трикутника, по тій же самій теоремі Піфагора, має виконуватися рівність:

Оскільки AB = BD + AD, рівняння набуде вигляду.

AC 2 + BC 2 = (AD + BD) 2

Оскільки BD-AD = 5, тоBD = AD + 5, тоді

AC 2 + BC 2 = (AD + AD + 5) 2

3. Тепер поглянемо на результати, отримані нами при вирішенні в першій і другій частині рішення. А саме:

72+ (AD + 5) 2 + AD 2 = AC 2 + BC 2

AC 2 + BC 2 = (AD + AD + 5) 2

Вони мають спільну частину AC 2 + BC 2. Таким чином, прирівняємо їх один до одного.

72+ (AD + 5) 2 + AD 2 = (AD + AD + 5) 2

72 + AD 2 + 10AD + 25 + AD 2 = 4AD 2 + 20AD + 25

В отриманому квадратному рівнянні дискриминант дорівнює D = 676, відповідно, коріння рівняння рівні:

Оскільки довжина відрізка може бути негативною, відкидаємо перший корінь.

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теоремі Піфагора знаходимо інші сторони трикутника:

AC = корінь з (52)

BC = корінь з (117).