Вирішено одна з найстаріших і найскладніших математичних задач наука наука і техніка

Схематичне розбиття кількох перших парних чисел в суму простих

Однією з цих завдань була і так звана задача про прості числа-близнята. Про неї «Лента.ру» докладно вже писала. Якщо коротко, то суть цієї проблеми така: потрібно довести, що кількість простих чисел p, q, таких, що p - q = 2, нескінченно. У сенсі адитивних завдань тут вирішується питання про нескінченність кількості подань двійки у вигляді різниці двох простих. Саму завдання поки вирішити не вдалося, однак американський математик Ітан Чжан зробив важливий крок: він довів, що існує таке ціле N, що безліч пар простих чисел p, q c умовою p - q = N нескінченно. Це стало суттєвим кроком вперед, оскільки раніше не було відомо, нескінченно чи безліч таких пар хоч для якогось N.

Інший же завданням, яке, на відміну від чисел-близнюків, вдалося вирішити повністю, стала так звана тернарного завдання Гольдбаха.

Записки на полях

В кінці листа, вже на полях, Гольдбах пише таку гіпотезу: «Будь-яке ціле число більше двох можна уявити як суму трьох простих» (німецький математик, на відміну від уявлень сучасної теорії чисел, вважав одиницю також простим числом). У відповідному листі Ейлер нагадує Гольдбаху, що раніше в особистій бесіді той висловлював схожу гіпотезу: мовляв, будь-яке парне ціле число можна представити у вигляді суми двох простих. При цьому Ейлер був упевнений, що «це безсумнівно вірна теорема», але говорив, що він її «довести не в змозі». Так на світ з'явилася гіпотеза Гольдбаха, точніше навіть дві гіпотези відразу.

Матеріали по темі

Математики наблизилися до вирішення проблеми простих чисел-близнюків

Перша отримала назву тернарной (або слабкою) гіпотези Гольдбаха. Вона стверджує, що будь-яке непарне ціле число більше п'яти представляється у вигляді суми трьох (не обов'язково попарно різних) простих чисел. У свою чергу бінарна (або сильна) гіпотеза Гольдбаха стверджує, що будь-яке ціле парне число більше двох представляється у вигляді суми двох (не обов'язково різних) простих чисел. Цю гіпотезу називають сильною тому, що слабка з неї випливає: додаючи до всіх парних числах трійку, ми можемо отримати всі можливі непарні числа більше п'яти.

Дуги великі і малі

До початку XX століття гіпотези Гольдбаха, поряд з гіпотезою Рімана, стали одними з центральних завдань теорії чисел, увійшовши навіть до складу знаменитої 8-й проблеми Гільберта.

Прорив у вирішенні цього завдання було здійснено британськими математиками Гарольдом Харді і Джоном Літтвуда. Тоді вони вивчали задачу Варингу (про неї йшлося вище). Розвиваючи ідеї самого Харді і Сіріваса Рамануджана, закладені в роботах 1916-1917 років, британські математики створили так званий кругової метод. Його суть полягає в наступному: вирішення завдання (наприклад, кількість способів представити ціле число у вигляді суми трьох простих) задається інтегралом по одиничному колі від деякого ряду. Цей інтеграл розбивається на два, один з яких оцінюється, а про інший доводиться його відносна небагато. Складові першу суму називаються великими дугами, а другу - малими.

Якщо Новомосковсктель спіткнувся на цьому місці, то ось як цей метод в бесіді з «Лентой.ру» пояснив сам Харальд Хельфготта: «Аналіз кількості рішень проводиться, по суті, за допомогою перетворення Фур'є. Уявіть собі, що прості числа - це звуки на деякій записи, скажімо, в моменти часу 2, 3, 5, 7, 11 і так далі мікросекунд. Після перетворення у вас виходить свого роду шум, в якому ви намагаєтеся почути якісь ноти. Серед них є такі, які можна почути досить добре, - це і є великі дуги. А є частоти, які просто є шумовими фрагментами, - це малі дуги. Весь метод розпадається на дві частини - виділення нот і доказ того, що решта насправді шум. За першу частину методу відповідають оцінки на великі дуги, за другий - на малі ».

Використовуючи свій метод, Харді і Літтлвуда зуміли довести тернарного гіпотезу Гольдбаха. Однак у їх докази був один, але вкрай істотна вада, який, по суті, перекреслював всю роботу: в статті вони спиралися на недоведеною узагальнену гіпотезу Рімана. Якщо коротко, то це деяке твердження про рішення одного рівняння - в гіпотезі йдеться, що всі ці рішення лежать на одній прямій на площині. Це твердження настільки складне, що воно не доведено до сих пір, і її спрощений варіант (відомий просто як гіпотеза Рімана) входить в список завдань Тисячоліття інституту Клея, за рішення кожної з яких покладається по мільйону доларів. Гільберт навіть жартував, що якби він заснув і прокинувся через 500 років, то першим ділом запитав би, чи доведена гіпотеза Рімана.

Рукопис Крістіана Гольдбаха

Метод Харді і Літтлвуда був удосконалений радянським математиком Іваном Виноградовим. Завдяки цьому в 1937 році Виноградов без використання гіпотези Рімана довів ось такий факт: всі непарні цілі числа, починаючи з деякого N, можна представити у вигляді суми трьох простих. «Мабуть, основним досягненням Виноградова були оцінки на малі дуги. Насправді в круговому методі це складна частина, і оцінки Виноградова на той момент були просто приголомшливі - вони були результатом вкрай нетривіальних комбінаторних міркувань. Для оцінки ж великих дуг він використовував методологію, дуже схожу на ту, яка була у Харді і Літтлвуда », - розповів Хельфготта.

Доведено - не доведене

Перш ніж продовжити розповідь, зробимо важливе відступ. З цього самого моменту (тобто з 1937 року) радянські математики і дружні їм вважають тернарного проблему Гольдбаха вирішеною, в той час як зарубіжні математики з цим незгодні. На жаль, праві саме іноземці: незважаючи на те що Виноградов виконав унікальну роботу, остаточно завдання не було вирішено. По-перше, виноград не оцінив число N. Коли ж це було зроблено його учнем Костянтином Бороздіним, виявилося, що межа N в роботі Виноградова становить число близько 10 6 846 168. Навіть зараз чисельна перевірка на комп'ютерах усіх «залишилися» випадків в роботі Виноградова є неможливою. А значить (і це по-друге), серед цих чисел може ховатися контрприклад до утвердження тернарной гіпотези Гольдбаха. І нехай в існування такого контрпримера ніхто не вірив, завдання не могла вважатися вирішеною.

З тих пір багато математики намагалися поліпшити результат Виноградова. Ідея в основі всіх цих спроб була досить простою: покращуючи оцінки, домогтися того, щоб N стало досить малим. «Досить малим» в даному випадку мається на увазі таке значення, для якого гіпотезу Гольдбаха можна перевірити на комп'ютері.

«Треба сказати, що поява роботи Тао, присвяченої п'яти простих чисел, підстьобнуло мене. У мене з'явився привід зібрати воєдино всі ті ідеї, які на той момент скупчилися у мене з приводу тернарной гіпотези Гольдбаха. Результатом цього стала робота. присвячена малим дуг. Ще рік пішов у мене на роботу по великих дуг », - розповів Хельфготта.

Результатом праць Хельфготта стала 133-сторінкова робота, яка містить всі необхідні оцінки. Головна теорема звучить наступним чином: всі непарні цілі числа, великі 10 29. можуть бути представлені у вигляді суми трьох простих. Раніше твердження гіпотези Гольдбаха було перевірено (самим Хельфготта у співпраці з Давидом Платтом) до 8,875 x 10 30. Разом ці два факти дають остаточний доказ тернарной гіпотези Гольдбаха. Примітно, що нова робота покладається на чисельні методи ще в одному місці: для доказу довелося перевірити вже згадувану узагальнену гіпотезу Рімана для досить великої кількості коренів. Зроблено це було Давидом Платтом.

«Я допоміг Платт, - каже Хельфготта, - вибив йому час на суперкомп'ютерах в різних місцях. Втім, його обчислення потрібні не тільки в цьому завданні - вони будуть корисні і в інших розділах математики ».

Бінарна проблема Гольдбаха

Ще одним цікавим результатом є теорема Чена - вона стверджує, що будь-яке парне число представимо або у вигляді суми двох простих, або у вигляді суми простого і напів (числа, що складається з добутку двох простих).

Для бінарної проблеми кругової метод не діє - вплив малих дуг там виявляється занадто сильним. У 1930 році Лев Шнирельман показав, що будь-яке парне число можна подати у сумі не більше ніж З простих, де C - деяка константа. Спочатку вона була дуже великою: в 1969 році радянський математик Клімов показав, що C не перевищує 6 000 000 000.

Самі ж математики вважають, що рішення сильної проблеми Гольдбаха ще далеко.