Відстань від точки до прямої в просторі - теорія, приклади, рішення
Нехай в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат Oxyz. задана точка, пряма a і потрібно знайти відстань від точки А до прямої a.
Покажемо два способи, що дозволяють обчислювати відстань від точки до прямої в просторі. У першому випадку знаходження відстані від точки М1 до прямої a зводиться до знаходження відстані від точки М1 до точки H1. де H1 - підстава перпендикуляра, опущеного з точкіМ1 на пряму a. У другому випадку відстань від точки до площини будемо знаходити як висоту паралелограма.
Перший спосіб знаходження відстані від точки до прямої a в просторі.
Тому що по визначенню відстань від точки М1 до прямої a - це довжина перпендікуляраM1H1. то, визначивши координати точки H1. ми зможемо обчислити шукане відстань як відстань між точками і за формулою.
Таким чином, завдання зводиться до знаходження координат підстави перпендикуляра, побудованого з точки М1 до прямої a. Зробити це досить просто: точка H1 - це точка перетину прямої a з площиною, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.
Отже, алгоритм, що дозволяє визначати відстань від точкідо прямойaв просторі. такий:
складаємо рівняння площині як рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої a;
визначаємо координати точки H1 - точки перетину прямої a і площині (дивіться статтю знаходження координат точки перетину прямої і плоскоті);
обчислюємо необхідну відстань від точки М1 до прямої a за формулою.
Другий спосіб, що дозволяє знаходити відстань від точки до прямої a в просторі.
Так як в умові завдання нам задана пряма a. то ми можемо визначити її направляючий вектор і координати деякої точки М3. лежить на прямій a. Тоді за координатами точок і ми можемо обчислити координати вектора: (при необхідності звертайтеся до статті координати вектора через координати точок його початку і кінця).
Відкладемо вектори і від точки М3 і побудуємо на них паралелограм. У цьому параллелограмме проведемо висоту М1H1.
Очевидно, висота М1H1 побудованого паралелограма дорівнює шуканого відстані від точкіМ1 до прямої a. Знайдемо.
З одного боку площа паралелограма (позначимо її S) може бути знайдена черезвекторное твір векторів і за формулою. З іншого боку площа паралелограма дорівнює добутку довжини його сторони на висоту, тобто,, де - довжина вектора, що дорівнює довжині сторони розглянутого паралелограма. Отже, відстань від заданої точки М1 до заданої прямої a може бути знайдена з рівності як.
Отже, щоб знайти відстань від точкідо прямойaв просторі потрібно
визначити спрямовує вектор прямої a () і обчислити його довжину;
отримати координати деякої точки М3. лежить на прямій a. обчислити координати вектора, знайти векторний добуток векторів і як і отримати його довжину;
обчислити необхідну відстань від точки до прямої в просторі за формулою.
Рішення задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої в просторі.
Розглянемо рішення прикладу.
Знайдіть відстань від точки до прямої.
Напишемо рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно заданої прямої:
Знайдемо координати точки H1 - точки перетину площини і заданої прямої. Для цього виконаємо перехід від канонічних рівнянь прямої до рівнянь двох пересічних площин
після чого вирішимо систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Залишилося обчислити необхідну відстань від точки до прямої як відстань між точками і:.
Числа, які стоять в знаменниках дробів в канонічних рівняннях прямої, є відповідні координати направляючого вектора цієї прямої, тобто, - направляючий вектор прямої. Обчислимо його довжину:.
Очевидно, що пряма проходить через точку, тоді вектор з початком у точці і кінцем в точці є. Знайдемо векторний добуток векторів і:
Тепер ми маємо в своєму розпорядженні усіма даними, щоб скористатися формулою для обчислення відстані від заданої точки до заданої площині:.
.
Взаємне розміщення прямих у просторі