Відстань від точки до площини

Визначення. Будемо називатьрасстояніем від точки до площини мінімальна відстань від даної точки до точок m-площині.

Оскільки мінімальна відстань від даної точки до точок будь-якої прямої, що лежить на m-площині, є відстанню від даної точки до підстави перпендикуляра, опущеного з неї на пряму. Відстань від точки до m-площині дорівнює відстані від цієї точки до підстави перпендикуляра, опущеного з неї на m-площину.

Знайдемо відстань від точки до площини, заданої рівнянням (4). Рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на площину має вигляд: (12). Підставами (12) в (4). . (13). Оскільки відстань від точки до довільної точки площини одно (14). Зокрема відстань до площини від початку системи одно (15). Коли вектор нормалі одиничний, формулу (14) можна записати, як (14 '). а (15). (15 '). У разі, коли вектор нормалі одиничний, абсолютна величина вільного члена в (4) дорівнює відстані до площини.

Затвердження. Оскільки у паралельних площин можуть бути обрані одні і ті ж направляючі вектори. то вектори нормалі паралельних площин колінеарні. Відстані від усіх точок однієї з двох паралельних площин до іншої з цих площин рівні. Дійсно, відстань від довільної точки до площини, проведеної через точку паралельно цій площині (4) з направляючими векторами. в силу (14) одно. Тобто дорівнює відстані від точки до тій же площині.

Визначення. Будемо називати число, так само цим відстаням, відстанню між двома паралельними площинами.

Якщо рівняння двох площин записані у вигляді: (17). то відстань між ними дорівнює відстані від точки. лежить на другій площині до першої. В силу співвідношення (14). ця відстань дорівнює. але тому що точка лежить на другій площині, то вектор задовольняє рівняння цієї площини, тобто . Отримуємо: (18).

23. Приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду з класифікацією можливих типів типів в разі # 948; ≠ 0

Зафіксуємо на площині прямокутну систему координат і розглянемо загальне рівняння другого ступеня. (1)

Def: Безліч точок, координати яких задовольняють рівняння 1 називають кривою другого порядку. Групу старших членів (2) можна розглядати як квадратичну форму від координат (х, у) вектора х. Оскільки матриця А-симетрична, то # 61476; ортонормованій базис з власних векторів а, в якому матриця квадратичної форми діагональна і матеріальна. Нехай матриця P = [pij] - матриця переходу від базису е до базису. Тоді. Тоді (5). З урахуванням 5 запишемо квадратичную форму 2. (6) Причому (легко виводиться множенням P T AP). Отже в базисі квадратична форма може бути записана у вигляді. Оскільки P T P = I, матриця Р - ортогональна і геометрично переходу від базису до базису відповідає поворот на деякий у гол # 966; проти годинникової стрілки. . В силу справедливості 5,6 перепишемо рівняння 1 в нових координатах. (10)

Покладемо (11). тоді # 955; 1 # 955; 2 = detD = det (P T AP) = detP T detA detP = detA.

А) Припустимо, що, тобто все # 955; одного знака, тоді геометричне місце точок координати яких задовольняють умові 13 являє собою:

a. Еліпс, якщо знак з протилежний знаку # 955;

b. «Уявний еліпс», якщо знак з = знаку # 955;

c. точку, якщо з = 0

В) Нехай. тобто # 955; 1 і # 955; 2 різних знаків. Тоді 13 буде

a. рівнянням гіперболи:. якщо c ≠ 0

b. І пари пересічних прямих, якщо c = 0

24Пріведеніе рівняння кривої другого порядку до канонічного виду з класифікацією можливих типів в разі # 948; = 0

3) Нехай. Будемо для визначеності вважати, що # 955; -1 = 0, а # 955; 2 ≠ 0. Тоді рівняння 10 перетвориться до виду:. Отримане рівняння - рівняння параболи. Якщо ж b1 = 0, то рівняння приводиться до наступного вигляду:. Це рівняння:

a. пари паралельних прямих, якщо з # 955; 2 <0

b. співпадаючих прямих, якщо з = 0

c. «Уявних паралельних прямих», якщо c # 955; 2> 0

Інваріанти кривої другого порядку. Визначення канонічного рівняння кривої другого порядку по інваріанта.

Def: інваріант кривої називаються функції коефіцієнтів рівняння кривої, які не змінюються при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої.

Теорема. Для кривої другого порядку. . є інваріантами. У доказі розглядається 2 випадки: 1) паралельний перенос (проводиться заміна змінних, відкриваються дужки, групується) 2) Поворот з використанням Р. (за допомогою Р приводиться до діагональної D = P T AP, а потім обчислюються інваріанти від D)

Крива еліптичного типу

28Пріведеніе рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду з класифікацією типів в разі, коли два з # 955; i дорівнюють нулю.

Нехай. тоді рівняння поверхні набуде вигляду: (7). Це пара паралельних площин. різних, коли # 955; 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ1 C>0.

Якщо a2 ≠ 0 або a3 ≠ 0, робимо заміну, вважаючи:. . Підставляючи в 7 отримуємо:. де. Це крива другого порядку на площині або параболічний циліндр.

29Доказать теорему про можливість розщеплення простору X, в якому діє лінійний оператор, в пряму суму кореневих підпросторів: X = (p 1) + (p 2) + ... + (pk)

Теорема 1. Простір R можна розкласти в пряму суму інваріантних підпросторів N0 (p) і M (p). При цьому підпростір N0 (p) складається тільки їх власних і приєднаних векторів, що відповідають власному значенню # 955; = 0, а в підпросторі M (p) перетворення оборотно (тобто # 955; = 0 не є власним значенням перетворення A в підпросторі M (p).

Доказ: для доказу першого твердження нам досить показати, що перетин підпросторів N0 (p) і M0 (p) дорівнює нулю. Припустимо противне, тобто нехай існує вектор y ≠ 0 такої, що yÎM (p) і yÎN0 (p). Так як yÎM (p). то y = A p x.

Далі, так як yÎN0 (p). то A p y = 0

Але з рівності (8) і (9) випливає, що існує такий вектор x, для якого A p x ≠ 0 і в той же час A 2 p x = A p y = 0

Це означає, що x є приєднаний вектор перетворення A з власним значенням # 955; = 0, що не належить подпространству N0 (p). що неможливо, так як N0 (p) складається з усіх таких векторів.

Таким чином ми довели, що перетин N0 (p) і M0 (p) дорівнює нулю. Так як сума розмірностей цих підпросторів дорівнює n (це ядро ​​і образ перетворення A p), то це означає, що простір R розкладається в пряму суму цих підпросторів:

Доведемо тепер друге твердження теореми, тобто що в підпросторі M (p) перетворення A не має нульового власного значення. Дійсно, якби це було не так, то в M (p) існував би вектор x ≠ 0 такої, що A p x = 0

Але це рівність означає, що xÎN0 (p). тобто є загальним вектором M (p) і N0 (p). а ми довели, що таким вектором може бути тільки нуль.

Теорема 2: Нехай перетворення A простору R має k різних власних значень # 955; 1, ...., # 955; k. Тоді R можна розкласти в пряму суму k інваріантних підпросторів N # 955; 1 (p 1), ...., N # 955; k (pk):

Кожне з підпросторів N # 955; i (pi) складається тільки з власних і приєднаних векторів, що відповідають власному значенню # 955; i

Іншими словами, для кожного i існує таке число pi. що для всіх xÎN # 955; i (pi):