Відстань між прямими і площинами

Під відстанню між двома будь-якими геометричними фігу-рами розуміється відстань між їхніми найближчими точками (якщо такі існують). Тому, щоб визначити відстань між прямими і площинами, треба знати їх найближчі точки.

1. Відстань між паралельними площинами.
Визначення. Відстанню між паралельними площинами
називають довжину перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки однієї
площині на іншу (рис. 43). Справді, все перпендикуляри між
двома паралельними площинами рівні, тому що відрізки
паралельних прямих, укладені між паралельними
площинами, рівні (теорема 10).

Прикладом відстані між паралельними площинами може служити висота призми, висота стелі в кімнаті і т.д.

2. Відстань між площиною і паралельної їй прямої.
Визначення. Відстанню між площиною і паралельної

їй прямий називається довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини (рис. 44).

. Відстань між перехресними прямими. Спочатку дамо поняття загального перпендикуляра перехресних прямих.

Визначення. Загальним перпендикуляром двох перехресних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих і перпенд-кулярний до кожної з них.

На малюнку 45 відрізок АВ - загальний перпендикуляр схрещую-трудящих прямих оіЬ. Пояснимо це.

Перехресні прямі АІ видання лежать в паралельних площинах. Позначимо їх відповідно а, р. Нехай проекція а 1 прямий а на пло-кістки р перетинає пряму видання в деякій точці В. Точка В є проекцією на Р деякої точки А е а. Відрізок АВ буде загальним перпендикуляром площин а і р, а тому і загальним перпендикуляром прямих а і 6. Якщо тепер візьмемо будь-який інший відрізок XY (Xea, Yeb), то | АВ |<|ХУ|. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми связано с их общим перпен-дикуляром.

Визначення. Відстанню між перехресними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

1. Як можна визначити відстань між паралельними площинами?

2. Що таке відстань між площиною і паралельної їй прямої?

3. Що таке загальний перпендикуляр перехресних прямих?

4. Як можна знайти відстань між перехресними прямими?

128. Відстань між двома паралельними площинами одно h. Відрізок довжини а своїми кінцями впирається в ці площини. Знайдіть проекцію відрізка на кожну з площин.

129. З кінців відрізка АВ, що не перетинає площину, опущені
перпендикуляри. Їх довжини 7 і 10 см, а відстань між їх
підставами одно 4 см. Знайдіть довжину АВ.

130. Кінці даного відрізка, що не перетинає площину, віддалені
від неї на 3 та 5 см. Як віддалена від площини точка: 1) ділить
даний відрізок навпіл; 2) щодо 3. 7?

131. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань між скрещівающі-
мися діагоналями його протилежних граней.

132. Два відрізка, довжини яких 13 і 37 дм, впираються кінцями в
дві паралельні площини. Проекція меншого з них на
площину дорівнює 5 дм. Знайдіть довжину проекції більшого відрізка.

133. Відрізок довжиною 10 дм перетинає площину, кінці його видалені
від площини на 5 і 3 дм. Знайдіть довжину проекції відрізка на
площину.

134. З точки до площини проведено дві похилі, рівні 17 і
10 м. Різниця проекцій цих похилих дорівнює 9 м. Знайдіть
відстань від точки до площини.

13 5. До площині трикутника з центру вписаною в нього окружнос-ти радіусом 0,4дм відновлений перпендикуляр довжиною 0,3 дм. Знайдіть відстань від кінця цього перпендикуляра до сторін трикутника.

136. З вершини квадрата опущений перпендикуляр до його площини. Відстані від кінця цього перпендикуляра до інших вершин квадрата рівні тип (т<п). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.

137. Сторони рівностороннього трикутника рівні 6 дм. Знайдіть
відстань до площини трикутника від точки, яка зна
диться на відстані 4 дм від кожної з його вершин.

138. Сторони трикутника дорівнюють 2, 6,5 і 7,5 дм. з вершини
більшого кута відновлений перпендикуляр довжиною 6 дм до його
площині. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до
більшої сторони трикутника.

139. Ребро правильного тетраедра а. Знайдіть відстань між його
протилежними ребрами.

140. З вершини А прямокутника ABCD відновлений перпенді-
куляр АЕ до його площини. Знайдіть довжину перпендикуляра АЕ,
якщо його кінець Е віддалений від вершин В, С і D на відстані 5,11 і
10 дм.