Відповіді - завдання про годинники - цікаві завдання та досліди - неймовірно, але факт!
Більшість непопередження людей у відповідь на питання; цього завдання малюють одне з накреслень: 6 або VI.
Це показує, що можна бачити річ 100 тисяч разів і все-таки не знати її. Справа в тому, що зазвичай на циферблаті (чоловічих годинників) цифри шість зовсім немає, тому що на її місці поміщається секунднік.
Будильник йде протягом години на 3 хвилини в порівнянні з настінними годинами. На 1 годину, тобто на 60 хвилин, він йде протягом 20 годин. Але за ці 20 годин будильник пішов вперед в порівнянні з вірним часом на 20 хвилин. Значить, стрілки були поставлені вірно 19 годин 20 хвилин тому, тобто в 11 годин 40 хвилин.
Між 3 і 6 годинами 180 хвилин. Неважко здогадатися, що число хвилин, що залишаються до 6 годин, знайдеться, якщо 180-50, тобто 130, розділимо на такі дві частини, з яких одна в чотири рази більша за іншу. Значить, треба знайти п'яту частину від 130. Отже, було без 26 хвилин шість.
Дійсно, 50 хвилин тому залишалося до 6 годин 26 + 50 - 76 хвилин, і, отже, після 3 годин пройшло 180-76 = 104 хвилини; це вчетверо більше числа хвилин, що залишаються тепер до шести.
Коли стрілки зустрічаються?
Почнемо спостерігати за рухом стрілок о 12 годині. У цей момент обидві стрілки один одного покривають. Так як годинникова стрілка рухається в 12 разів повільніше, ніж хвилинна (вона описує повне коло о 12 годині, а хвилинна о 1 годині), то протягом найближчої години стрілки, звичайно, зустрітися не можуть. Але ось минула година; годинникова стрілка стоїть у цифри 1, зробивши 1/12 частку повного обороту; хвилинна ж зробила повний оборот і варто знову у 12 - на 1/12 частку кола позаду вартовий. Тепер умови змагання інші, ніж раніше: годинна стрілка рухається повільніше хвилинної, але вона попереду, і хвилинна повинна її наздогнати. Якби змагання тривало цілу годину, то за цей час хвилинна стрілка пройшла б повне коло, а годинна 1/12 кола, тобто хвилинна зробила б на 11/12 кола більше. Але, щоб наздогнати годинникову стрілку, хвилинної потрібно пройти більше, ніж вартовий, тільки на ту 1/12 частку кола, яка їх відокремлює. Для цього буде потрібно пір не цілу годину, а менше в стільки разів, у скільки разів 1/12 менше 11/12, тобто в 11 разів. Значить, стрілки зустрінуться через 1/11 години, тобто через 60/11 = 5 5/11 хвилини.
Отже, зустріч стрілок трапиться через 5 5/11 хвилини після того, як пройде 1 годину, тобто в 5 5/11 хвилини другого.
Коли ж відбудеться наступна зустріч?
Неважко здогадатися, що це трапиться через 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто в 2 годині 10 10 / 11мінути. Наступна - через ще 1 годину 5 5/11 хвилини, тобто о 3 годині 16 4/11 хвилини, і т. Д. Усіх зустрічей, як легко бачити, буде 11; 11-я настане через 1 1/11 -12 годин після першої, тобто о 12 годині; іншими словами, вона збігається з першою зустріччю, і подальші зустрічі повторяться знову в колишні моменти.
Ось всі моменти зустрічей:
1-я зустріч - о 1 годині 5 5/11 хвилини
2-я «-« 2 годині 10 10/11 «
3-тя «-« 3 години 16 4/11 «
4-я «-« 4 години 21 9/11 «
5-я «-« 5 годині 27 3/11 «
6-я «-« 6 годині 32 8/11 «
7-я «-« 7 годин 38 2/11 «
8-я «-« 8 годин 43 7/11 «
9-я «-« 9 годин 49 1/11 «
10-я «-« 10 годині 54 6/11 «
Коли стрілки спрямовані нарізно?
Це завдання вирішується дуже схоже з попередньою. Почнемо знову з 12 години, коли обидві стрілки збігаються. Потрібно обчислити, скільки часу буде потрібно для того, щоб хвилинна стрілка обігнала годинну рівно на півкола, - тоді обидві стрілки і будуть спрямовані як раз в протилежні сторони. Ми вже знаємо (див. Попередню задачу), що протягом цілої години хвилинна стрілка обганяє годинну на 11/12 повного кола; щоб обігнати її всього на 1/2 кола, знадобиться менше часу, ніж цілу годину, - менше в стільки разів, у скільки 1/2 менше 11/12, тобто буде потрібно всього 6/11 години. Значить, після 12 години стрілки в перший раз розташовуються одна проти іншої через 6/11 години, або 32 8/11 хвилини. Погляньте на годинник в 32 8/11 хвилини першого, і ви переконаєтеся, що стрілки спрямовані в протилежні сторони.
Єдиний це момент, коли стрілки так розташовані? Звичайно, ні. Такий стан стрілки займають через 32 8/11 хвилини після кожної зустрічі. А ми вже знаємо, що зустрічей буває 11 протягом 12 годин; значить, і розташовуються стрілки нарізно теж 11 разів протягом 12 годин. Знайти ці моменти неважко:
12 год. + 32 8/11 хв. = 12 год. 32 8/11 хв.
1 годину 5 5/11 хв. + 32 8/11 хв. = 1 годину 38 2/11 хв.
2 годині 10 10/11 хв. + 32 8/11 хв. = 2 годині 43 7/11 хв.
3 години 16 4/11 хв. + 32 8/11 хв. = 3 години 49 1/11 хв. і т.д.
Обчислити інші моменти надаю вам самим.
По обидва боки шести
Завдання це вирішується так само, як і попередня. Уявімо, що обидві стрілки стояли у 12, і потім годинна відійшла від 12 на деяку частину повного обороту, яку ми позначимо літерою х. Хвилинна стрілка за той же час встигла повернутися на 12 х ;. Якщо часу пройшло не більше однієї години, то для задоволення вимоги нашої задачі необхідно, щоб хвилинна стрілка відстояла від кінця цілого кола на стільки ж, на скільки годинникова стрілка встигла відійти від початку; іншими словами:
Звідси 1 = 13 • х (тому що 13 • x- 12 • х - х). Отже, х = 1/13 частці цілого обороту. Таку частку обороту годинникова стрілка проходить в 12/13 години, тобто показує 55 5/13 хвилини першого. Хвилинна стрілка в той же час пройшла в 12 разів більше, тобто 12/13 повного обороту; обидві стрілки, як бачите, відстоять від 12 однаково, а отже, однаково відсунуті і від 6 по різні боки.
Ми знайшли одне положення стрілок - саме те, яке настає протягом першої години. Протягом другої години подібний стан настане ще раз; ми знайдемо його, розмірковуючи за попереднім, з рівності
1 - (12х - 1) = х, або 2 12х = х,
звідки 2 = 13х (бо 13х - 12х = х), і. отже, х = 2/13 повного обороту. У такому положенні стрілки будуть в 1 11/13 години, тобто в 50 10/13 хвилини другого.
Втретє стрілки займуть потрібне положення, коли годинникова стрілка відійде від 12 на 3/13 повного кола, тобто 2 10/13 години, і т. Д. Усіх положень 11, причому після 6 години стрілки міняються місцями: годинна стрілка займає ті місця, в яких була раніше хвилинна, а хвилинна стає на місця вартовий.
Якщо почати стежити за стрілками рівно о 12 годині, то протягом першої години ми шуканого розташування не помітимо. Чому? Тому що годинна стрілка проходить 1/12 того, що проходить хвилинна, і, отже, відстає від неї набагато більше, ніж потрібно для шуканого розташування. На якій би кут ні відійшла від 12 хвилинна стрілка, годинна повернеться на 1/12 цього кута, а не на 1/2, як нам потрібно. Але ось минула година; тепер хвилинна стрілка стоїть у 12, годинна - у 1, на 1/12 повного обороту попереду хвилинної. Подивимося, чи не може таке розташування стрілок наступити протягом другої години. Припустимо, що момент цей наступив тоді, коли годинникова стрілка відійшла від цифри 12 на частку обороту, яку ми позначаємо через х. Хвилинна стрілка встигла за той же час пройти в 12 разів більше, тобто 12х. Якщо відняти звідси один повний оборот, то залишок 12х - 1 повинен бути вдвічі більше, ніж х, тобто дорівнювати 2х. Ми бачимо, отже, що 12х - 1 = 2х, звідки випливає, що один цілий оборот дорівнює 10х (дійсно, 12х -10х = 2х).
Але якщо 10х рівні цілому обороту, то 1х = 1/10 частини обороту. Ось і рішення задачі: годинна стрілка відійшла від цифри 12 на 1/10 повного обороту, на що потрібно 12/10 години або 1 годину. 12 хвилин. Хвилинна стрілка при цьому буде вдвічі далі від 12, тобто на відстані 1/5 обороту; це відповідає 60/5 = 12 хвилинам, як і повинно бути.
Ми знайшли одне рішення задачі. Але є й інші: стрілки протягом 12 годин розташовуються таким же чином не один раз, а кілька. Спробуємо знайти інші рішення.
Для цього дочекаємося 2 годин; хвилинна стрілка стоїть у 12, а годинна - у 2. Міркуючи за попереднім, отримуємо рівність:
звідки два цілих обороту рівні 10х, і, отже, x = 1/5 цілого обороту. Це відповідає моменту 12/5 = 2 годинах 24 хвилинах.
Подальші моменти ви легко обчисліть самі. Тоді ви знайдете, що стрілки розташовуються згідно з вимогою завдання в наступних 10 моментах:
о 1 годині 12 хв. о 7 год. 12 хв.
«2 години 24« «8« 24 «
Відповіді: «о 6 годині» і «о 12 годині» можуть здатися невірними, але тільки з першого погляду. Дійсно: о 6 годині годинникова стрілка стоїть у 6, хвилинна ж - у 12, тобто рівно вдвічі далі. У 12 ж годин годинникова стрілка віддалена від 12 «на нуль», а хвилинна, якщо хочете, на «два нуля» (тому що подвійний нуль той же, що і нуль); значить, і цей випадок, по суті, задовольняє умові завдання.
Після попередніх роз'яснень вирішити цю задачу вже неважко. Легко здогадатися, розмірковуючи, як раніше, що в перший раз необхідну розташування стрілок буде в той момент, який визначається рівністю:
звідки 1 = 11 ½ х, або х = 2/23 цілого обороту, тобто через 1 1/23 години після 12. Значить, о 1 годині 21 4/23 хвилини стрілки будуть розташовані так, як слід. Дійсно, хвилинна стрілка повинна стояти посередині між 12 і 1 1/23 годинами, тобто на 12/23 години, що як раз і становить 1/23 повного обороту (годинникова стрілка пройде 2/23 цілого обороту). Другий раз стрілки розташуються так, як слід в момент, який визначиться з рівності:
звідки 2 = 11 1/2 х і х = 4/23; шуканий момент - 2 години 5 5/23 хвилини.
Третій шуканий момент - 3 години 7 19/23 хвилини, і т. Д.
Зазвичай відповідають: «7 секунд». Але така відповідь, як зараз побачимо, є невірним.
Коли годинник б'є три, ми спостерігаємо два проміжки:
1) між першим і другим ударом;
2) між другим і третім ударом.
Обидва проміжку тривають 3 секунди; значить, кожен триває вдвічі менше - саме 1 1/2 секунди.
Коли ж годинник б'є сім, то таких же проміжків буває шість. Шість разів по 1 1/2 секунди складає 9 секунд. Отже, годинник «б'ють сім» (тобто роблять сім ударів) в 9 секунд.
Загадкові перерви в цокання годинника відбуваються просто від втоми слуху. Наш слух, втомлюючись, притупляється на кілька секунд - і в ці проміжки ми не чуємо цокання. Через короткий час стомлення проходить, і колишня чуйність відновлюється - тоді ми знову чуємо хід годинника. Потім настає знову стомлення, і т. Д.
Читайте далі:
Цифра шість Запитайте кого-небудь з ваших знайомих постарше, як давно володіє він кишеньковими годинами. Покладемо, виявиться, що годинник у нього вже 15 років. Продовжуйте тоді розмова приблизно в такому дусі: - А по скільки разів на день поглядає ви на свій годинник. - Раз 20, ймовірно, або близько.