Відповіді 3 семестр (теорія)
Лектор С.Н. Чириков. Групи Д3-013,130
Числові ряди. Визначення сходиться числового ряду. Геометричний ряд.
Числовий ряд - нескінченна сума членів нескінченної числової послідовності Un> називається числовим рядом: u1 + u2 + u3 + ... + un + ... =
Часткові суми ряду - Sn. вони утворюють послідовність Sn> -послідовність часткових сум (нескінченного) рядаun -загальний член ряду.
Ряд називається збіжним, якщо існує кінцева межа послідовності його часткових сум (сума ряду) =
Якщо межа не існує або нескінченний, то послідовність називається розходиться.
Геометричний ряд - це сума всіх членів геометричної послідовності з першим членом a і знаменником q
a0 + a0 q + a0 q 2 + ... + a0 q n-1 + ...
Властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності.
Якщо ряд збігається і його сума S, то рядтоже сходиться і його суммаS.
Якщо ряди и- сходяться, і їх суми S1 і S2. то ряди його сума дорівнює S1 ± S2
Додаванні (або відкиданні) кінцевого числа членів не впливає на збіжність.
Нехай і, тоді починаючи з непарного номера N> ip
Необхідна ознака ності ряду.
Якщо ряд сходиться, то.
Слідство: Якщо, то ряд розходиться.
Зауваження: Ця ознака необхідний, але не достатній.
Теореми порівняння (ознаки порівняння).
1-ий ознака порівняння.
Нехай дано ії для будь-якого n Un ≤Vn. якщо рядсходітся, то і рядсходітся, еслірасходітся, то івитрат. (Дана теорема справедлива, якщо нерівність здійснимо не для всіх n, а починаючи з деякого)
2-ий ознака порівняння.
Якщо для рядів ісуществует межа, то обидва ряди або одночасно сходяться, або розходяться.
- ряд порівняння, найчастіше використовуються:
Ознаки збіжності Даламбера і Коші.
Якщо для ряду існує кінцевий межа відносин
Якщо для ряду існує кінцевий межа відносин
Інтегральний ознака збіжності. Збіжність узагальненого гармонічного ряду.
Якщо f (x) при х ≥1 безупинна, позитивна, монотонно убуває і для всіх хεnεN, f (n) = Un. то рядсходітся або розходиться одночасно з невласних інтегралом. Теорема справедлива в тому випадку, якщо f (x) неперервна, неотрицательна і монотонно зростає при х≥а (а> 1), то ряд буде сходитися чи розходитися одночасно с.
Знакозмінні числові ряди. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Ознака Лейбніца збіжності Знакозмінні ряду.
- абсолютно сходиться, якщо сходиться ряд складений з модулів його членів
- умовно сходиться. якщо- сходиться, а ряд з модулей- розходиться.
Ряд виду, де все Un ≥0 називається Знакозмінні.
Ознака Лейбніца: Якщо члени Знакозмінні ряду зменшуються за абсолютною величиною U1> U2> U3> ...> Un ... і, то Знакозмінні ряд збігається і його сума не перевищує першого члена S≤U1
Функціональні ряди. Область збіжності. Збіжність рядаxn.
Функціональної послідовністю називається нескінченне, занумерованих безліч функцій
Функція F (x) називається межею функціональної послідовності на Х, якщо рівність F (x) = виконується в кожній точці Х або, якщо для будь-яких хεХ і всіх Ε> 0 существуетN (E; x) пріn> N | fn (x) - F (x) | Ряд виду (), гдеfn (x) - члени функціональної послідовності, називається функціональним рядом. При кожному фіксованому значенні х = х0 цей функціональний ряд представляє собою звичайний числовий ряд. Якщо цей числовий ряд сходиться, то значення х0 - називають точкою збіжності функціонального ряду. Сукупність усіх точок збіжності називають областю збіжності ряду. Енної часткової сумою функціонального ряду називається функція виду: Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + .. + fn (x). Сумою функціонального ряду називається функція S (x) =, за умови, що цей приділ існує в кожній точці Х (області збіжності функціонального ряду). А сам ряд називається збіжним на Х. Область збіжності функціонального ряду може бути знайдена за допомогою ознаки Д'Аламбера або Коші. Рівномірно збіжні послідовності і ряди. Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду. Рівномірно сходиться функціональна послідовність. Послідовність функцій сходиться рівномірно n (x)> = F (x) на всіх х, якщо для всіх ε> 0 існує таке N (ε) для всехn> N, всехxεX, що | fn (x) -F (x) |<ε, для всех точек данного множества. Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині Х до функції S (x) ;, якщо для всіх ε> 0 існує таке N (ε) для всехn> N, всехxεX, що |. Якщо - сходиться і кожен член функціонального ряду не перевищує членів чисельного ряду | fn (x) | ≤an. все n≥n0 ≥1, то все хεХ, сходиться рівномірно на Х. Статечні ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду. Ряд С0 + С1 Х + С2 Х 2 + ... + Сn X n + ... (1) або С0 + С1 (Х-Х0) + С2 (Х0) 2 + ... + Сn (X-Х0) n + ... ( 2), де Сi εR, - називається статечним. Теорема Абеля. Якщо ряд 1 сходитися в х0 ≠ 0, то він абсолютно сходиться при всіх | x |<|x0 |. Если ряд расходится в х1 ≠0, то он расходится при всех |x|>| X1 |. З теореми випливає, що існує число R> 0 таке, що при | x | Вирази для радіуса збіжності степеневого ряду через коефіцієнти ряду. Як знайти інтервал збіжності статечного ряду? R = - функція Коші-Адамара.