відображення множин

Відповідність між множинами А і В називається підмножина їх декартова твори

Іншими словами, пари задають відповідність між множинами А =<> і В =<>, якщо вказано правило R, за яким для елемента безлічі А вибирається елемент з безлічі В.

Якщо елементу поставлений у відповідність певний елемент. b називається чином елемента а й записується так: b = R (a). Тоді - прообраз елемента. який має властивості єдиності і повноти:

1. Кожному прообразу відповідає єдиний образ;

2. Образ повинен бути повним, так само як повним повинен бути і прообраз.

Приклад. Якщо А - безліч парабол, В - безліч точок площині, а R - відповідність "вершина параболи", то R (а) - точка, що являє вершиною параболи a, а складається з усіх парабол з вершиною в точці b (рис. 6)

Образ безлічі А при відповідно R називається безліччю значень цього відповідності та позначається R (A), якщо R (A) складається з образів всіх елементів безлічі А.

Прообраз безлічі В при деякому відповідно R називають областю визначення цієї відповідності та позначають. У свою чергу є зворотним відповідністю для R.

Так, для відповідності R, заданого точками координатної площині, областю визначення є безліч точок осі абсцис, а безліччю значень - проекції точок на вісь ординат (рис.7). Тому для деякої точки

М (х, у) у є чином, а х - прообразом при деякому відповідно R: У = R (x), Відповідність між множинами Х, зручно у вигляді точки на площині за допомогою методу декартових координат.

Нехай задано відповідність R і Y = R (X). Йому відповідають точки М з координатами (х; у) (рис. 7). Тоді безліч точок площині, що виділяється відображенням R, буде графіком.

Для опису відповідностей між множинами використовують поняття відображення (функції) одного безлічі на інше.

Для завдання відображення необхідно вказати:

1. Безліч, яке відображається (область визначення даного відображення, часто позначаються);

2. Безліч, в (на) яке відображається дана область визначення (безліч значень цього відображення, часто позначається);

3. Закон або відповідність між цими множинами, за яким для елементів першого безлічі (прообразів, аргументів) обрані елементи (образи) з другої множини.

Способи завдання відображень: аналітичний (у вигляді формул), табличний. графічний (діаграми або графи).

Розрізняють два основних види однозначних відображень (функцій). За потужністю вони діляться на сюр'ектівние і ін'єкційних.

1. Відповідність, при якому кожному елементу множини А зазначений єдиний елемент безлічі В, а кожному елементу множини В можна вказати хоча б один елемент множини А, називається відображенням безлічі А на безліч В (сюр'єкція).

2. Відповідність, при якому кожному елементу множини А відповідає єдиний елемент безлічі В, а кожному елементу В відповідає не більше одного прообразу з А, називається відображенням безлічі А в безліч В (ін'єкція).

Відображення безлічі А на безліч В, при якому кожному елементу множини В відповідає єдиний елемент множини А, називається взаємно - однозначним відповідністю між двома множинами, або біекція.

Графік безперервного бісктівного відображення показаний на рис. 8.

Якщо безліч А відображається взаємно - однозначно на безліч В, тобто . то відображення. при якому кожному елементу множини В ставиться у відповідність його прообраз з безлічі А, називається зворотним відображенням для і записується. Так як одному образу пі Бієкція відповідає в точності один прообраз, зворотне відображення буде визначено всюди на В і однозначно.

Для Бієкція прийнята запис:.

Таким чином, біекція - функція, яка є одночасно ін'єкцією і сюр'єкція.