Види нелінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку

Опис: Диференціальне рівняння рівняння зв'язує значення деякої невідомої функції в деякій точці і значення її похідних різних порядків в тій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму записі невідому функцію її похідні і незалежні змінні; проте не будь-яке рівняння містить похідні невідомої функції є диференціальним рівнянням. Нелінійне диференціальне рівняння диференціальне рівняння звичайне або з приватними похідними в яке принаймні одна.

Розмір файлу: 163.25 KB

Роботу скачали: 39 чол.

Якщо ця робота Вам не підійшла внизу сторінки є список схожих робіт. Так само Ви можете скористатися кнопкою пошук

ПГУ ім. Т.Г. Шевченко

Види нелінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку

студент 211 групи

Бирт Ігор Андрійович

1. Вступ 3 стор.

2. Види диференціальних рівнянь 4 стор.

3. Практична частина 8 стор.

4. Література 20 стор.

диференціальне рівняння # 151; рівняння, що зв'язує значення деякої невідомої функції в деякій точці і значення її похідних різних порядків в тій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму записі невідому функцію, її похідні та незалежні змінні; проте не будь-яке рівняння, що містить похідні невідомої функції, є диференціальним рівнянням.

Порядок диференціального рівняння # 151; найбільший порядок похідних, що входять в нього.

Процес рішення диференціального рівняння називається інтегруванням.

Все диференціальні рівняння можна розділити на лінійні і не лінійні.

Нелінійне диференціальне рівняння - диференціальне рівняння (звичайне або з приватними похідними), в до ото рої принаймні про дна з похідних невідомої функції (включаючи і похідну нульового порядку - саму невідому функцію) входить нелінійно.

Іноді під Н.Д.У. розуміється найбільш загальне рівняння певного виду. Напр. нелінейнимобикновенним диференціальним рівнянням 1 - го порядку наз. рівняння з довільною

функцією при цьому лінійне звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку відповідає окремого випадку

Н. д. У. з приватними похідними 1-го порядку для невідомої функції z

від незалежних змінних має вигляд:

де F - довільна функція своїх аргументів;

Види нелінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку:

Рівняння з розділеними змінними

Рівняння в повних диференціалах

Існує така функція u (x, y). що

Загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах u (x, y) = C.

Функція u може бути представлена ​​у вигляді

де P (x, y). Q (x, y) - однорідні функції однієї і тієї ж ступеня

Підстановка y = ux. dy = xdu + udx переводить однорідне рівняння в лінійне щодо функції u.

1. Якщо прямі і перетинаються в точці

(X 0; y 0), то заміна приводить його до однорідного рівняння

2. Якщо прямі і паралельні, то заміна призводить до рівняння із перемінними

Підстановкою зводиться до лінійного

Якщо відомо будь-яка з рішень. то рівняння зводиться до

Диференціюючи по x і вважаючи y '= p. приходимо до лінійного рівняння щодо x як функції p.

- окремий випадок рівняння Лагранжа.

Вирішити диференціальне рівняння

Дане рівняння є найпростішим рівнянням Риккати з постійними коефіцієнтами. Змінні x, y тут легко розділяються, так що загальне рішення рівняння визначається в наступному вигляді:

Вирішити рівняння Риккати

Будемо шукати приватне рішення у формі:

Підставляючи це в рівняння, знаходимо:

Отримуємо квадратне рівняння для c:

Ми можемо вибрати будь-яке значення c. Наприклад, нехай c = 2. Тепер, коли приватне рішення відомо, зробимо заміну:

Знову підставимо це в вихідне рівняння Риккати:

Як видно, ми отримали рівняння Бернуллі з параметром m = 2. Зробимо ще одну заміну:

Розділимо рівняння Бернуллі на z2 (вважаючи, що z ≠ 0) і запишемо його через змінну v:

Останнє рівняння є лінійним і легко вирішується за допомогою інтегруючого множника:

Загальне рішення лінійного рівняння визначається функцією

Тепер ми будемо послідовно повертатися до попередніх змінним. Так як z = 1 / v, то загальне рішення для z записується в такий спосіб:

Можна перейменувати константу: 3C = C1 і записати відповідь у вигляді

де C1 - довільне дійсне число.

Знайти всі рішення диференціального рівняння

Дане рівняння є рівнянням Бернуллі з дробовим параметром

m = 1/2. Його можна звести до лінійного диференціального рівняння з допомогою заміни

Похідна нової функції z (x) буде дорівнює

Розділимо початкове рівняння Бернуллі на

Аналогічно іншим прикладам на цій веб-сторінці, корінь y = 0 також є тривіальним рішенням диференціального рівняння. Тому можна записати:

Замінюючи y на z. знаходимо:

Отже, ми маємо лінійне рівняння для функції z (x). Інтегруючий множник тут буде дорівнює

Виберемо в якості інтегруючого множника функцію u (x) = x. Можна перевірити, що після множення на u (x) ліва частина рівняння буде являти собою похідну твори z (x) u (x):

Тоді загальне рішення лінійного диференціального рівняння буде визначатися виразом:

Повертаючись до вихідної функції y (x), записуємо рішення в неявній формі:

Отже, повний відповідь має вигляд:

Рівняння з відокремлюваними змінними

Знайти всі рішення диференціального рівняння

Перетворимо рівняння таким чином:

Очевидно, що розподіл на e y не приводить до втрати рішення, оскільки e y> 0. Після інтегрування одержуємо

Даний відповідь можна виразити в явному вигляді:

В останньому виразі передбачається, що константа C> 0, щоб задовольнити області визначення логарифмічної функції.

Знайти приватне рішення рівняння, при

Перепишемо рівняння в наступному вигляді:

Розділимо обидві частини на 1 + e x.

Оскільки 1 + e x> 0, то при розподілі ми не втратили жодного рішення. Інтегруємо отримане рівняння:

Тепер знайдемо константу C з початкової умови y (0) = 0.

Отже, остаточну відповідь має вигляд:

Знайти загальне і особливе рішення диференціального рівняння

Вважаючи y '= p, його можна записати у вигляді

Продифференцировав по змінної x, знаходимо:

Замінимо dy на pdx:

Прирівнюючи перший множник до нуля, отримуємо:

Тепер підставимо це в друге рівняння:

В результаті отримуємо загальне рішення заданого рівняння Клеро. Графічно, це рішення представляється у вигляді однопараметричного сімейства прямих. Прирівнюючи нулю другий співмножник, знаходимо ще одне рішення:

Це рівняння відповідає особливим рішенням диференціального рівняння і в параметричної формі записується як

Виключаючи p з системи, отримуємо наступне рівняння інтегральної кривої:

З геометричної точки зору, парабола

є обвідної сімейства прямих, визначених спільним рішенням.

Знайти загальне і особливе рішення диференціального рівняння

Введемо параметр y '= p:

Диференціюючи обидві частини рівняння по змінній x, отримуємо:

Оскільки dy = pdx, то можна записати:

Розглянемо випадок dp = 0. Тоді p = C. Підставляючи це в рівняння, знаходимо спільне рішення:

Графічно це рішення відповідає однопараметричними сімейства прямих ліній.

Другий випадок описується рівнянням

Знайдемо відповідне параметричне вираз для y:

Параметр p можна виключити з формул для x і y. Зводячи останні рівняння в квадрат і складаючи їх, отримуємо:

Отриманий вираз є рівнянням кола радіусом 1, розташованим на початку координат. Таким чином, особливе рішення представляється одиничної колом в площині xy, яка є обвідної для сімейства прямих ліній.

1. Н.С. Піскунов "Диференціальне та інтегральне числення", том другий, видавництво "Наука", Київ 1985

1. Е. Камке. Довідник по звичайних диференціальних рівнянь. М. Наука, 1976.

1. Джерела інформації в інтернеті.

PAGE \ * MERGEFORMAT 19