Великих чисел закон
Розстановка наголосів: БОЛЬШІ`Х ЧІ`СЕЛ ЗАКО`Н
ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН - загальний принцип, в силу догрого спільна дія випадкових факторів призводить при деяких досить загальних умовах до результату, майже не залежному від випадку. Зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань (помічена спочатку, мабуть, на азартних іграх) може служити першим прикладом дії цього принципу.
На рубежі 17 і 18 ст. Я. Бернуллі [1] довів теорему, яка стверджує, що в послідовності незалежних випробувань, в кожному з яких брало ймовірність настання деякого події А має одне і те ж значення р, 0 <р <1, верно соотношение:
при будь-якому # 949;> 0 і n → ∞; тут # 956; n - число появ події в перших n випробуваннях, # 956; n / n - частота появ. Ця Бернуллі теорема була поширена С. Пуассоном [2] на випадок послідовності незалежних випробувань, де ймовірність появи події А може залежати від номера випробування. Нехай ця ймовірність для k-го випробування дорівнює РK. k = 1, 2, 3. і нехай
Тоді Пуассона теорема стверджує, що
при будь-якому # 949;> 0 і n → ∞. Перше суворе доказ цієї теореми було дано П. Л. Чебишева (1846), метод догрого повністю відрізняється від методу Пуассона і заснований на деяких екстремальних міркуваннях; С. Пуассон виводив (2) з наближеною формули для зазначеної ймовірності, заснованої на використанні закону Гаусса і в той час ще строго не обгрунтованою. У С. Пуассона вперше зустрічається і термін «закон великих чисел», до-рим він назвав своє узагальнення теореми Бернуллі.
Природне подальше узагальнення теорем Бернуллі й Пуассона виникає, якщо зауважити, що випадкові величини # 956; n можна представити у вигляді суми
незалежних випадкових величин, де Хk = 1, якщо А з'являється в k-м випробуванні, і Хk = 0 - в іншому випадку. При цьому математич. очікування Е (# 956; n / n) (що збігається із середнім арифметичним математичного. очікувань EXk) одно р для випадку Бернуллі і р # 175; для випадку Пуассона. Іншими словами, в обох випадках розглядається відхилення середнього арифметичного величин від середнього арифметичного їх математичних. очікувань.
У роботі П. Л. Чебишева «Про середні величини» (1867) було встановлено, що для незалежних випадкових величин X1. Хn. співвідношення
(При будь-якому # 949;> 0 і n → ∞) вірно при досить загальних припущеннях. П. Л. Чебишев припускав, що математич. очікування ЕХ 2 k все обмежені однією і тією ж постійною, хоча з його докази видно, що досить вимоги обмеженості дисперсій Xk. DXk = EX 2 k - (EXk) 2. або навіть вимоги
Таким чином, П. Л. Чебишев показав можливість широкого узагальнення теореми Бернуллі. А. А. Марков зазначив можливість подальших узагальнень і запропонував застосовувати назву Б. ч. З. до всієї сукупності узагальнень теореми Бернуллі [і зокрема, до (3)]. Метод Чебишева заснований на точному встановленні загальних властивостей математичного. очікувань і на використанні так зв. Чебишева нерівності [для ймовірності (3) воно дає оцінку виду
цю межу можна замінити більш точною, зрозуміло при більш значних обмеженнях, см. Бернштейна нерівність]. Наступні докази різних форм Б. ч. З. в тій чи іншій мірі є розвитком методу Чебишева. Застосовуючи належне «урізання» випадкових величин Xk (заміну їх допоміжними величинами X'n, k. Саме: Х'n, k = Xk. Якщо | Xk - EXk | ≤ Ln. І X'n, k = 0, якщо | Xk - EXk |> Ln. де Ln - нек-риє постійні), А. А. Марков поширив Б. ч. з. на випадки, коли дисперсії доданків не існують. Напр. він показав, що (3) має місце, якщо при деяких постійних # 948;> 0 і L> 0 і всіх n
Аналогічно доводиться теорема Хинчина (1929): якщо Хn мають однакові закони розподілу і EXn існує, то Б. ч. З. (3) виконується.
Для сум незалежних випадкових величин можна сформулювати більш-менш остаточний варіант Б. ч. З. Для цього доцільно перейти на більш загальну точку зору, пов'язану з поняттям граничного сталості послідовності випадкових величин. Випадкові величини послідовності Y1. Yn. наз. гранично постійними, якщо існує така послідовність постійних C1. Сn. що при будь-якому # 949;> 0 і n → ∞
(Т. Е. Yn - Cn сходиться до нуля "по ймовірності»; якщо (4) виконується з до.-л. Сn. То воно виконується і з Сn = mYn. Де mY - медіана випадкової величини У). Далі, замість послідовності Х1. Хn. незалежних випадкових величин можна взяти так зв. схему серій (див. Серій схема):
випадкових величин (перший індекс - номер серії, другий - номер величини всередині серії). Випадкові величини кожної окремої серії передбачаються взаємно незалежними. Схему послідовності легко звести до схеми серій, вважаючи k1 = 1, k2 = 2. Xn, k = Xk / n.
Тоді загальна форма питання про можливість застосування Б. ч. З. для сум незалежних випадкових величин така: за яких умов суми Yn гранично постійні?
Відповідь на це питання дав А. Н. Колмогоров (1928). Припустимо, не обмежуючи спільності, що медіани величин Xn, k дорівнюють нулю. Нехай X # 771; n, k = Xn, k при | Хn, k | ≤ 1 і X # 771; n, k = 0 при | Xn, k |> 1 - Тоді одночасне виконання двох умов:
необхідно і достатньо для граничного сталості сум Yn. Як Сn можна взяти Достатність цих умов легко доводиться методом Чебишева. Якщо математич. очікування ЕXn, k існують, то легко вказати додаткові умови, при яких можна вибрати Cn = EYn. що призводить до необхідних і достатніх умов Б. ч. з. в класичні. формулюванні (3). Для послідовності незалежних однаково розподілених величин n> ці умови зводяться, відповідно до зазначеної теоремою Хинчина, для існування математичного. очікування. У той же час для граничного сталості середніх арифметичних Yn в цьому випадку необхідно і достатньо умова
Легко навести приклади, коли умова (5) не виконується. Так, воно не виконується, якщо все Хn мають розподіл Коші з щільністю 1 / π (1 + x 2) (к-рій відповідає типовий. Функція е - | t |). Тут середні арифметичні - мають типовий. функцію e - n [t / n] = e - | t |. і отже, мають при будь-якому n те ж саме розподіл, що і окремі складові.
У числі найбільш важливих прикладів, де Б. ч. З. не має місця, слід зазначити приклади, пов'язані з часом повернення в випадкових блукання. Напр. в симетричному Бернуллі блукання час Тn до n-го повернення в вихідну точку є сума n незалежних випадкових величин X1. Хn. де X1 - час до 1-го повернення, X2 - час між 1-м і 2-м поверненнями і т. д. Розподіл величини 2Tn / π n 2 сходиться при n → ∞ до невироджені граничного закону з щільністю
і рівною нулю при x ≤ 0. Таким чином, в цьому випадку розподіл середнього арифметичного величин Xi. т. е. Тn / n, розміщується, грубо кажучи, на відрізку довжини порядку n (в той час як у випадку застосування Б. ч. з. воно зосереджується на відрізках довжини про (1)).
де звідси ж випливає, що при n → ∞
Більш загальний випадок охоплюється умовами С. Н. Бернштейна: якщо DXj
Попередні результати можна узагальнити в різних напрямках. По-перше, скрізь вище розглядалася збіжність «по ймовірності». Розглядають і інші типи збіжності: з ймовірністю одиниця, в середньому квадратичному і т. П. (В дійсності багато з зазначених вище умов забезпечують збіжність в середньому квадратичному, з до-рій випливає збіжність за ймовірністю). Випадок збіжності з ймовірністю одиниця, з огляду на його важливість, виділяється особливою назвою «посиленого закону великих чисел» (див. Великих чисел посилений закон).
Далі, багато теореми переносяться з відповідними змінами на випадкові вектори зі значеннями з евклідових просторів будь-якої розмірності, з гильбертова простору, з деяких банахових просторів. Так, напр. якщо n> - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових векторів зі значеннями з сепарабельного банахових просторах і якщо Е || Хn || (|| x || - норма х) існує, то
при будь-якому # 949;> 0 і n → ∞.
Розглянутий в найбільш загальній формі Б. ч. З. виявляється тісно пов'язаним з ергодичними теоремами. Зрозуміло, багато теореми переносяться і на випадок середніх, де X (t) - випадковий процес, який залежить від безперервного параметра (див. Наприклад, [10]).
Нарешті, замість сум випадкових величин можна розглянути інші симетричні функції від них. Це було зроблено А. Я. Хінчіним (1951-55) у зв'язку з обґрунтуванням деяких висновків статистич. механіки [9]. Результат А. Я. Хинчина можна пояснити наступним приватним прикладом. Нехай Хn, 1. Хn, n - координати тонкі, рівномірно розподіленим на поверхні сфери
Тоді для широкого класу симетричних функцій f (Хn, 1. Хn, n) має місце Б. ч. З. в тому сенсі, що їх значення при n → ∞ виявляються гранично постійними [це близько до зауваження П. Леві (P. Levy, 1925) про те, що досить регулярні функції дуже великого числа змінних майже постійні в більшій частині області визначення].
У більшості старих посібників наводилися великі статистич. дані, що ілюструють Б. ч. з. (Див. Напр. [4], [11]).
Літ. [1] Bernoulli J. Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. Пер. - Частина четверта твори Я. Бернуллі. Харків, 1913); [2] Poisson S.-D. Recherches sur la probabilit # 233; des jugements en mati # 232; re criminelle et en mati # 232; re civile, pr # 233; ced # 233; es des r # 232; gles g # 233; n # 233; rales du calcul des probabilit # 233; s, P. 1837; [3] Чeбишeв П. Л. І.. зібр. соч. т. 2, М. - Л. 1947; [4] Марков А. А. Числення вірогідності, 4 видавництва. М. 1924; [5] Бернштейн С. Н. Теорія вірогідності, 4 видавництва. М. - Л. 1946; [6] Гнеденко Б. В. Колмогоров А. Н. Граничні розподілу для сум незалежних випадкових величин, М. - Л. 1949; [7] Дуб Дж. Імовірнісні процеси, пер. з англ. М. 1956; [8] Гренандер У. Ймовірності на алгебраїчних структурах, пров. з англ. М. 1965; [9] Xінчін А. Я. Симетричні функції на багатовимірних поверхнях, в кн. Пам'яті А. А. Андронова, М. 1955, с. 541-74; [10] Лоева М. Теорія ймовірностей, пров. з англ. М. 1962; [11] Uspensky J. V. Introduction to mathematical probability, N. Y. - L. 1937.
- Математична Енциклопедія. Т. 1 (А - Г). Ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін.] - М. «Радянська Енциклопедія», 1977, +1152 стб. з іл.