Векторна алгебра частина i

Поняття вектора. проекції вектора

Спрямовані відрізки прийнято називати також геометричними векторами або просто векторами. Вектор як спрямований відрізок ми будемо як і раніше записувати в тексті двома великими латинськими літерами із загальною рисою нагорі за умови, що перша з них позначає початок, друга - кінець вектора. Поряд з цим ми будемо також позначати вектор однієї малої латинською літерою напівжирного шрифту, яка на кресленнях ставиться у кінця стрілки, що зображає вектор (рис. 1, де зображений вектор а з початком А і кінцем В). Початок вектора часто буде називатися також його точкою докладання.

Вектори називаються рівними, якщо вони мають однакові довжини, лежать на паралельних прямих або на одній прямій і направлені в одну сторону.

Число, рівне довжині вектора (при заданому масштабі), називається його модулем. Модуль вектора a позначається символом | vector | або а. Якщо | vector | = 1, то вектор vector називається одиничним.

Одиничний вектор, який має однаковий напрямок з даними вектором vector, називається ортом вектора vector і позначається зазвичай символом a ^ (- 0).

Проекцією вектора vector на вісь u називається число, яке дорівнює величині відрізка A1B1 осі u, де точка A1 є проекцією точки А на вісь u, а B1 - проекцією точки В на цю вісь.

Проекція вектора vector на вісь u позначається символом прu vector.

Проекція вектора vector на вісь u виражається через його модуль і кут phi нахилу до осі u формулою

прu vector = | vector | * cosphi

Проекції довільного вектора vector на осі деякої заданої системи координат в подальшому позначаються буквами X, Y, Z. Рівність vector = означає, що числа X, Y, Z є проекціями вектора на координатні осі. Вектор, для якого X = Y = Z = 0, називається нульовим і позначається vector.

Проекції вектора на координатні осі називаються також його (декартовими) координатами. Якщо дано дві точки M1 (x1, y1, z1) і M2 (x2, y2, z2), що є відповідно початком і кінцем вектора vector, то його координати X, Y, Z визначаються за формулами X = x1-x2, Y = y2 -y1, Z = z2-z1.

vector = sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2) (2)

дозволяє за координатами вектора визначити його модуль.

Якщо альфа, бета, гамма - кути, які становить вектор vector з координатними осями (див. Рис. 2), то cosальфа, cosбета, cosгамма називаються напрямними косинусами вектора vector.

Внаслідок формули (1)

Звідси, і з формули (2) випливає, що

cos ^ 2альфа + cos ^ 2бета + cos ^ 2гамма = 1.

Остання рівність дозволяє визначити один з кутів альфа, бета, гамма. якщо відомі два інших.

Дано точки A (3; -1; 2), B (-1; 2; 1). Знайти координати векторів vector і vector. Дивитися рішення.

Лінійні операції над векторами

Сумою vector + vector двох векторів vector і vector називається вектор, який йде з початку вектора vector в кінець вектора vector за умови, що вектор vector прикладений до кінця вектора vector (правильно трикутника). Побудова суми vector + vector зображено на рис. 1.

">
Поряд з правилом трикутника часто користуються (рівносильним йому) правилом паралелограма: якщо вектори vector і vector приведені до спільного початку і на них побудований паралелограм, то сума vector + vector є вектор, що збігається з діагоналлю цього паралеллограмма, що йде із загального початку vector і vector ( рис. 2). Звідси відразу випливає, що vector + vector = vector + vector.

Додавання багатьох векторів проводиться за допомогою послідовного застосування правила трикутника (див. Рис. 3, де зображено побудова суми чотирьох векторів vector, vector. Vector. Vector).

Різниця vector-vector двох векторів vector і vector називається вектор, який в сумі з вектором vector становить вектор vector. Якщо два вектори vector і vector приведені до спільного початку, то різниця їх vector-vector є вектор, що йде з кінця vector ( «від'ємника») до кінця vector ( «зменшуваного»). Два вектора рівної довжини, що лежать на одній прямій і спрямовані в протилежні сторони, називаються взаємно зворотними: якщо один з них позначений символом vector, то інший позначається символом -vector. Легко бачити, що vector-vector = vector + (- vector). Таким чином, побудова різниці рівносильно збільшенню до «зменшуваного» вектора, зворотного «від'ємника».

Твір альфаvector вектора vector на число альфа називається вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля вектора vector на модуль числа альфа; він паралельний вектору vector або лежить з ним на одній прямій і спрямований так само, як вектор vector. якщо альфа - число позитивне, і протилежно вектору vector. якщо альфа - число від'ємне.

Сума векторів та множення вектора на число називаються лінійними операціями над векторами.

Трапляються такі дві основні теореми про проекціях векторів:

1) Проекція суми векторів на якусь вісь дорівнює сумі її проекцій на цю ж вісь.

2) При множенні вектора на число його проекція множиться на те ж число.

Зокрема, якщо

vector = (X1; Y1; Z1), vector = (X2; Y2; Z2)

Якщо vector =, то для будь-якого числа альфа

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Ознакою коллинеарности двох векторів

vector = (X1; Y1; Z1), vector = (X2; Y2; Z2)

є пропорційність їх координат:

X2 / X1 = Y2 / Y1 = Z2 / Z1

Трійка векторів vector, vector, vector називається координатним базисом, якщо ці вектори задовольняють таким умовам:

1). Вектор vector лежить на осі Ох, вектор vector - на осі Оу, вектор vector - на осі Oz;

2). Кожен з векторів vector, vector, vector спрямований по своєї осі в позитивну сторону;

3). Вектори vector, vector, vector поодинокі, тобто vector = 1, vector = 1, vector = 1.

Яким би не був вектор vector, він завжди може бути розкладений по базису vector, vector, vector. тобто може бути представлений у вигляді

vector = Xvector + Yvector + Zvector

коефіцієнти цього розкладання є координатами вектора vector (тобто X, Y, Z суть проекції вектора vector на координатні осі).