Варіація функції - це
числова характеристика функції одного дійсного-змінного, пов'язана з її диференціальними властивостями.
1) Нехай - функція дійсної змінної х, задана на відрізку; її варіація є точна верхня грань сум виду
де - довільна система точок з. Це визначення запропоновано К. Жорді-ном [1]. Якщо. то кажуть, що функція має обмежену (кінцеву) варіацію на відрізку. а клас всіх таких функцій позначають через або просто через V. Функція належить класу тоді і тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді де і - зростаючі (спадні) на функції (Жордана розкладання функції обмеженої варіації). Сума, різниця і твір двох функцій класу також є функція класу. Це справедливо і для приватного двох функцій класу. якщо модуль знаменника перевершує позитивну постійну на відрізку. Кожна функція класу обмежена і може мати лише рахункове безліч точок розриву, причому всі вони 1-го роду.
Всі ці властивості функцій класу встановлені К. Жорданом [1] (див. Також [2], с. 234-38).
Функції класу майже всюди діфференцируєми на і для них має місце розкладання
де - абсолютно безперервна, - сингулярна функція, а - функція стрибків (Лебега розкладання фуікціі обмеженою варіації). Це розкладання єдине, якщо (див. [3] і [2], с. 290).
Спочатку клас був введений К. Жорданом в зв'язку з узагальненням Дирихле ознаки збіжності рядів Фур'є кусочно монотонних функцій. К. Жор-дан довів, що ряди Фур'є -періодіч. функцій класу сходяться в кожній точці дійсної осі. Однак в подальшому функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.
Іноді розглядаються класи. к-які визначаються наступним чином. Нехай позитивна при монотонно зростаюча неперервна функція. Позначимо через точну верхню межу сум виду
де - довільне розбиття відрізка. Величина зв. Ф-варіацією функції на відрізку. Якщо то кажуть, що функція має обмежену Ф - варіацію на відрізку. а клас всіх таких функцій позначається через або просто через (див. (4], с. 287). При виходить клас К. Жордана, а при - класи Vp Н. Вінера [5]. Визначення класу V Ф [a, b] запропоновано Л. Юнг [6]. Якщо
при причому ці вкладення строгі.
Літ. [1] Jоrdan С. "С. r. Acad. Sci.", 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної, 2 видавництва. М. 1957; [З] Лебег А. Інтеграція і відшукання примітивних функцій, (пров. З франц.), М.- Л. 1934; [4] Барі Н. К. Тригонометричні ряди, М. 1961; [5] Wiеner N. "Massachusetts J. Math, and Phys.", 1924, v. 3, p. 72-94; Г6] Young L. С. "C. r. Acad. Sci.", 1937, t. 204, № 7, p. 470 - 72. Б. І. Блакитне.
2) Для функції декількох змінних є різні визначення варіацій (Арцела варіація, Віталі варіація, Пьерпонт варіація, Тонеллі плоска варіація, Фреше варіація, Хардп варіація). Дуже плідною виявилася також наступне визначення (див. [1]), засноване на використанні Банаха індикатриси ,. Нехай действітельнозначная функція задана і вимірна по Лебегу на n-вимірному кубі. Варіацією порядку функції на кубі зв. число
де позначає -ю варіацію безлічі. а інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Ото визначення дозволяє перенести на функції декількох змінних багато властивостей функцій обмеженої варіації одного змінного. напр .:
б) Якщо послідовність функцій сходиться до рівномірно на. то
в) Якщо функція неперервна на і все її варіації кінцеві, то майже скрізь має повний диференціал.
г) Якщо функція абсолютно неперервна на. то
д) Якщо функція неперервна на кубі зі стороною. має кінцеві варіації всіх порядків на кубі і може бути періодично продовжена з періодом по кожному аргументу на все н-мірний простір. то її ряд Фур'є рівномірно сходиться до неї на по Прингсхейм.
Достатні умови кінцівки варіацій: якщо функція має на кубі безперервні похідні всіх порядків до -го включно, то її варіація порядку kконечна. Ця теорема є остаточною в тому сенсі, що умови на гладкість НЕ улучшаема ні прп одному k.
Літ. : [1] Вітушкін А. Г. Про багатовимірних варіаціях, М. тисяча дев'ятсот п'ятьдесят п'ять А. Г. Вітушкін.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.