В) нейтральний елемент 1978 Сьомушкін а

в) Нейтральний елемент

При додаванні цілого числа 7 з нулем в результаті отримуємо те ж саме число 7. Для будь-якого цілого числа а справедливо рівність a + 0 = a.

При виконанні композиції поворотів (табл. 1) результат композиції будь-якого повороту і повороту R0 збігається з першим поворотом.

Кажуть, що нуль є нейтральним елементом відносно додавання на множині цілих чисел, а поворот R0 - нейтральним елементом щодо композиції на безлічі 0. R1. R2>.

Взагалі, нейтральним елементом щодо деякої операції * на множині M називається такий елемент I ∈ M, що для будь-якого елемента a ∈ M а * I = I * а = а.

Нейтральним елементом щодо об'єднання на безлічі підмножин універсальної множини є порожня множина; існує нейтральний елемент і щодо складання на безлічі векторів - їм є нульовий вектор.

У той же час можна назвати операції на різних множинах, щодо яких не існує нейтрального елемента. Наприклад, не існує нейтрального елемента відносно множення на безлічі парних чисел. Не існує такого елемента і щодо операції на відомих числових множинах, згідно з якою з пари чисел вибирається найбільше, так як не існує числа, яке б разом з будь-яким числом давало те ж саме число як найбільше число другої пари.

Якщо нейтральний елемент існує щодо операції, заданої таблицею, то одна з рядків, а саме рядок, відповідна нейтральному елементу, тотожна рядку, розташованої над таблицею; один з стовпців, а саме стовпець, відповідний нейтральному елементу, тотожний колонки, розташованому зліва від таблиці. Вірно і зворотне. Це дозволяє легко знаходити нейтральний елемент (якщо він існує) щодо операції, заданої таблицею (див. Табл. 1).

16. Чи існує нейтральний елемент (вкажіть його) щодо: а) композиції переміщень на безлічі переміщень;

б) композиції подоб на безлічі подоб; в) знаходження найбільшого спільного дільника на безлічі натуральних чисел; г) перетину, об'єднання на безлічі підмножин універсальної множини; д) операцій, заданих таблицями 2 і 4?

17. Наведіть приклади операцій, щодо яких на безлічі існує нейтральний елемент; не існує його.

18. У розглянутих вище прикладах операції на даній множині, щодо якої існує нейтральний елемент, такий елемент єдиний. Яке можна зробити припущення?

Має місце наступна теорема.

Т. 3. Якщо нейтральний щодо операції на даній множині елемент існує, то такий елемент єдиний.