Урок «обсяг похилій призми»

Короткий опис документа:

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Сьогодні ми виведемо формулу обсягу похилій призми за допомогою інтеграла.

Згадаймо, що таке призма і яка призма називається похилою?

ПРИЗМА - багатогранник, дві грані якого (підстави) - рівні багатокутники, розташовані в паралельних площинах, а інші грані (бічні) - паралелограми.

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні площині підстави, то призма пряма, в іншому випадку призма називається похилою.

Обсяг похилій призми дорівнює добутку площі підстави на висоту.

1) Розглянемо трикутну похилу призму ВСЕВ2С2Е2. Обсяг даної призми дорівнює V, площа підстави - S, висота - h.

Скористаємося формулою: обсяг дорівнює інтеграл від 0 до h S від ікс де ікс.

V =. де площа перпендикулярного осі Ох перетину. Виберемо вісь Ох, причому точка Про - початок координат і лежить в площині ВСЕ (нижня частина похилій призми). Напрямок осі Ох перпендикулярно площині ВСЕ. Тоді вісь Ох перетне площину в точці h, і проведемо площину Е1 паралельну підстав похилій призми і перпендикулярну осі Ох. Оскільки площині паралельні і бічні грані - це паралелограми, то ВЕ =. РЄ = С1Е1 = С2Е2; ВС = В1С1 = В2С2

Звідки випливає, що трикутники ВСЕ = E2 рівні за трьома сторонами. Якщо трикутники рівні, значить, рівні їх площі. Площа довільного перетину S (х) дорівнює площі підстави Sосн.

В даному випадку площа підстави є постійною. Як меж інтегрування візьмемо 0 і h. Отримуємо формулу: обсяг дорівнює інтеграл від 0 до h S від ікс де ікс або інтеграл від 0 до h площі підстави від ікс де ікс, площа підстави - це константа (постійна величина), ми можемо винести її за знак інтеграла і вийде, що інтеграл від 0 до h де ікс дорівнює аш мінус 0:

Виходить, що обсяг похилій призми дорівнює добутку площі підстави на висоту.

2) Доведемо цю формулу для довільної n- вугільної похилій призми. Для доказу візьмемо п'ятикутну похилу призму. Виконаємо розбиття похилій призми на кілька трикутних призм, в даному випадку - на три (так само, як при доведенні теореми про обсяг прямої призми). Позначимо обсяг похилій призми за V. Тоді обсяг похилій призми буде складатися з суми обсягів трьох трикутних призм (по властивості обсягів).

V = V1 + V2 + V3, а обсяг трикутної призми ми шукаємо за формулою: обсяг похилій призми дорівнює добутку площі підстави на висоту.

Значить, обсяг похилій призми дорівнює сумі добутків площ підстави на висоту, виносимо висоту h за дужки (так як вона однакова у трьох призм) і отримуємо:

Бічне ребро похилої призми - 4 см, становить з площиною основи кут 30 ° .Сторони трикутника, які лежать в основі, рівні 12, 12, і 14 см. Знайти об'єм похилої призми.

Дано: - похила призма,

АВ = 12 см, ВС = 12 см, АС = 14 см, В = 4 см, BK = 30 °.

Додаткове побудова: В похилій призмі проведемо висоту Н.

Ми знаємо, що обсяг похилій призми дорівнює добутку площі підстави на висоту.

У підставі похилій призми лежить довільний трикутник, у якого відомі всі сторони, значить, можна застосувати формулу Герона: площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку пе на різницю пе і а, на різницю пе і бе, на різницю пе і ЦЕ, де пе - напівпериметр трикутника, який шукаємо за формулою: половина суми всіх сторін а, в і з:

Підставами значення напівпериметр в формулу площі підстави, спростимо і отримаємо відповідь: сім коренів з 95.

Розглянемо δB H. Він прямокутний, так як Н - висота похилої призми. З визначення синуса, катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус протилежного кута

Н = • sin30 °

значення синус 30 ° дорівнює одній другій, значить

А висота Н - висота похилої призми - дорівнює 2.

Отже, обсяг дорівнює