Урок «нерівності з модулем»

Короткий опис документа:

В математиці дуже поширені нерівності, що містять змінну під знаком модуля.

На цьому уроці ми розглянемо різні способи вирішення цих нерівностей.

Для вивчення цієї теми згадаємо визначення модуля числа і його геометричний сенс.

Модулем числа називається саме це число, якщо воно невід'ємне, або це ж число з протилежним знаком, якщо воно негативне.

Геометрично модуль а означаетрасстояніе на координатної прямої від початку відліку до точки, яка зображує число а.

Якщо а не дорівнює нулю. то на координатній прямій існують дві точки а і мінус а. рівновіддалені від нуля, модулі яких рівні.

Перший спосіб (геометричний сенс модуля). Розглянемо на простих прикладах.

Вирішити нерівність модуль ікс мінус трьох менше чотирьох.

Малюємо координатну пряму.

Модуль ікс мінус трьох менше чотирьох означає, що відстань від точки ікс до точки три менше чотирьох одиниць. Відзначаємо на прямий число три і відраховуємо вліво і вправо від нього чотири поділки. Зліва ми прийдемо до точки один, праворуч - до точки сім. Таким чином, межі точки ікс ми просто побачили, що не обчислюючи їх.

При цьому, згідно з умовою нерівності, самі мінус один і сім не включені в безліч рішень. Таким чином, відповідь:

інтервал від мінус одиниці до семи.

Другий спосіб - графічне рішення.

Вирішити нерівність ікс мінус один менше модуля квадрата різниці ікс і двох і мінус один.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: ігрек дорівнює ікс мінус один і ігрек дорівнює модуль ікс мінус два і все в квадраті і мінус один.

Графіком лінійної функції ігрек дорівнює ікс мінус один є пряма, що проходить через точки, наприклад, з координатами один і нуль і чотири і нуль. Графік функції ігрек дорівнює модуль ікс мінус два і все квадраті і мінус один. Використовуючи алгоритм, робимо побудови графіка функції ігрек дорівнює модуль еф від ікс.

Знаходимо точки перетину графіків. У відповіді вказуємо ті значення ікс, при яких графік першої функції розташований нижче графіка другої функції.

Етооб'едіненіе відкритого числового променя від мінус нескінченності до одиниці, інтервалу від одного до двох і відкритого числового променя від чотирьох до плюс нескінченності.

Відповідь: об'єднання відкритого числового променя від мінус нескінченності до одиниці, інтервалу від одного до двох і відкритого числового променя від чотирьох до плюс нескінченності.

Третій спосіб - зведення в квадрат.

Вирішити нерівність модуль ікс квадрат мінус один менше модуля ікс квадрат мінус ікс плюс один.

Зведемо обидві частини нерівності в квадрат. Зауважимо, що зводити обидві частини нерівності в квадрат можна тільки в тому випадку, коли вони обидві позитивні. В даному випадку у нас і зліва, і справа стоять модулі, тому ми можемо це зробити.

Тепер скористаємося наступним властивістю модуля: квадрат модуля ікс дорівнює ікс квадрат. Отримаємо ікс квадрат мінус один і все в квадраті мінус ікс квадрат мінус ікс плюс один і все в квадраті менше нуля.

Далі найкраще скористатися формулою різниці квадратів. Можна, звичайно, і зводити в квадрат ліву і праву дужку, але це займе набагато більше часу. Маємо твір трьох множників менше нуля.

Вирішуємо методом інтервалів.

З малюнка видно, що

рішенням нерівності є об'єднання відкритого числового променя від мінус нескінченності до нуля і інтервалу від однієї другий до двох.

Відповідь: об'єднання відкритого числового променя від мінус нескінченності до нуля і інтервалу від однієї другий до двох.

Четвертий спосіб (визначення модуля).

Вирішити нерівність три помножене на модуль ікс мінус один менше або дорівнює ікс плюс три.

За визначенням модуля вираз ікс мінус один може бути невід'ємним або негативним.

Якщо ікс мінус один більше або дорівнює нулю, то заданий нерівність набуде вигляду два ікс більше або дорівнює шести.

Якщо ікс мінус один менше нуля, то заданий нерівність набуде вигляду мінус чотири ікс менше або дорівнює нулю.

Таким чином, дане нерівність рівносильне сукупності двох систем.

Вирішуємо першу систему сукупності, отримаємо, що вирішенням цієї проблеми є числовий відрізок від одиниці до трьох.

Вирішуємо другу систему сукупності, отримаємо, що вирішенням цієї проблеми є числовий відрізок від нуля до одиниці.

Рішенням даної нерівності є

об'єднання цих числових відрізків, тобто числовий відрізок від нуля до трьох.

Відповідь: числовий відрізок від нуля до трьох.

Четвертий спосіб є найбільш універсальним, але в залежності від ситуації використовуються і інші.

Вирішити нерівність модуль ікс квадрат мінус три мінус два ікс менше або дорівнює нулю.

Перетворимо нерівність. Перенесемо два ікс в праву частину нерівності.

Помічаємо, що ліва частина нерівності неотрицательна, значить, і права частина повинна бути неотрицательной, тобто ікс більше або дорівнює нулю. Так як обидві частини нерівності невід'ємні, то їх можна звести в квадрат (третій спосіб) і розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Отримуємо твір чотирьох множників менше або дорівнює нулю.

Вирішимо це нерівність методом інтервалів. З малюнка видно, що рішення цієї нерівності - об'єднання числових відрізків від мінус трьох до мінус одиниці і від одиниці до трьох.

З огляду на умову ікс більше або дорівнює нулю, отримаємо рішення вихідної нерівності - відрізок від одного до трьох.

Відповідь: відрізок від одного до трьох.

Вирішити нерівність модуль ікс мінус чотири більше модуля ікс плюс шість.

Обидві частини даного нерівності невід'ємні для будь-яких значень ікс, тому їх можна звести в квадрат, потім

розкласти на множники за формулою різниці квадратів, привести подібні члени, розділити на мінус десять. Отримаємо нерівність ікс менше мінус одного.

Рішенням цієї нерівності, а значить, іравносільного йому даного нерівності є відкритий числовий промінь від мінус нескінченності до мінус одиниці.

Відповідь: відкритий числовий промінь від мінус нескінченності до мінус одиниці.

Вирішити нерівність ікс мінус один більше кубічного кореня з ікс в кубі мінус два ікс в квадраті плюс чотири ікс мінус сім.

Звівши обидві частини цієї нерівності в третю ступінь, отримаємо нерівність,

Застосувавши формулу куба різниці, перенісши всі члени нерівності в праву частину і навівши подібні члени многочлена,

отримаємо квадратне нерівність ікс в квадраті плюс ікс мінус шість менше нуля, рівносильне даному нерівності.

Рішенням цієї нерівності, а значить, іравносільного йому вихідної нерівності є інтервал від мінус трьох до двох. Відповідь: інтервал від мінус трьох до двох.

Вирішити нерівність два ікс плюс три і все в квадраті мінус модуль двох ікс плюс три менше або дорівнює тридцяти.

Зауважимо, що два ікс плюс три і все в квадраті дорівнює квадрату модуля два ікс плюс три. Тоді отримаємо квадратне нерівність, в якому

зробимо заміну: ігрек дорівнює модулю два ікс плюс три.

Перепишемо наше нерівність з урахуванням заміни, розкладемо на множники і отримаємо нерівність ігрек мінус шість помножене на ігрек плюс п'ять менше або дорівнює нулю.

Вирішимо методом інтервалів і отримаємо:

ігрек менше або дорівнює мінус п'ять і менше або дорівнює шести.

Повернемося до заміни, і дане подвійне нерівність рівносильна системі нерівностей.

Вирішимо перша нерівність з цієї системи. Воно рівносильно системі нерівностей.

Два ікс плюс три менше або дорівнює шести і два ікс плюс три більше або дорівнює мінус шести.

Її рішенням є відрізок від мінус чотирьох цілих п'яти десятих до однієї цілої п'яти десятих.

Друге нерівність системи - модуль двох ікс плюс три більше або дорівнює мінус п'яти - очевидно виконується для всіх ікс, так як модуль за визначенням число позитивне. Так як рішення системи нерівностей - це все ікс, які задовольняють одночасно і першому і другому нерівності системи, то її рішенням, а значить, і вихідного нерівності, буде рішення її першого нерівності (адже рішенням системи буде рішення її першого нерівності, тобто числовий відрізок від мінус чотирьох цілих п'яти десятих до однієї цілої п'яти десятих.

Відповідь: числовий відрізок від мінус чотирьох цілих п'яти десятих до однієї цілої п'яти десятих.