Урок - формули пониження степеня

Короткий опис документа:

Тригонометрія - це один з найважливіших розділів, який вивчається в курсі алгебри в 10 класі. Йому приділяється досить щедре кількість уроків. Адже для того, щоб як слід зрозуміти тригонометрію і в теорії і на практиці, необхідно постійно вирішувати величезну кількість прикладів, які зміцнять теорію і дозволять розширити навички виконання тієї чи іншої роботи: домашній, контрольної, самостійної або просто класною.

Матеріал, який розповідається і розглядається в ресурсі, складений фахівцями таким чином, щоб повністю розкрити тему, не упустити жоден важливий момент. Це говорить про те, що його можна сміливо використовувати при складанні планів-конспектів до уроків, що роблять молоді вчителі в обов'язковому порядку.

В першу чергу виводяться формули зниження квадрата. Ми бачимо, як просто можна позбутися від другого ступеня в косинусів і синусі. Для того щоб школярі могли зрозуміти, звідки взялися ці формули, наступним кроком диктор докладно розповідає, всі кроки. В першу чергу, варто згадати основну формулу в тригонометрії, яка говорить про те, що сума квадрата синуса і косинуса дає нам одиницю. З цієї тотожності можна вивести окремо і квадрат синуса, і косинуса. Згадавши формулу косинуса і синуса подвійного аргументу, можна зрозуміти, звідки з'явилися нові правила.

Помітно, що при виконанні будь-якого кроку, ми звертаємося до матеріалу, який раніше був вивчений. Це вказує на важливість і взаємопов'язаність тим в тригонометрії. Ні в якому разі не можна упускати ті чи інші теми і приступити до нових. Матеріал стане незрозумілим, адже буде невідомо, звідки з'явилися ті чи інші значення і перетворення. Так як тригонометрія містить велику кількість формул, без яких рухатися далі неможливо, варто поступово їх запам'ятовувати і вивчати нові. Також закріплювати матеріал потрібно на практиці і отримувати нові навички, які знадобляться в подальшому при написанні контрольних та семестрових робіт.

Після цього диктор пропонує вирішити схожий приклад, в якому використовується формула зниження ступеня синуса. Його школярі можуть самостійно вирішити. Якщо вони зрозуміли попередній приклад, то справляться і з цим.

У підсумку наводиться ще один більш складний приклад. При її вирішенні використовується формула тангенса. Диктор докладно пояснює рішення, після чого виводиться відповідь.

Формули пониження степеня

cos 2 х = (квадрат косинуса ікс дорівнює напів-суми одиниці і косинуса подвійного аргументу).

sin 2 х = (квадрат синуса ікс дорівнює напів-різниці одиниці і косинуса подвійного аргументу).

називають формулами зниження ступеня.

Виведемо ці формули:

З формули cos 2 х + sin 2 х = 1, з знайдемо sin 2 х:

sin 2 х = 1-cos 2 х

У формулі cos 2x = cos 2 х - sin 2 х, значення sin 2 х замінимо на 1 cos 2 х і отримаємо cos 2 х - (1 cos 2 х)

при розкритті дужок отримуємо cos 2 х - 1+ cos 2 х

так як cos 2 х + cos 2 х в сумі 2cos 2 х

отримуємо, що cos 2x = 2 cos 2 х - 1.

cos 2x = cos 2 х - sin 2 х = cos 2 х - (1-cos 2 х) = 2 cos 2 х - 1.

Звідси висловлюємо cos 2 х

cos 2x +1 = 2 cos 2 х

cos 2 х = (квадрат косинуса ікс дорівнює напів-суми одиниці і косинуса подвійного аргументу).

Ми вивели першу формулу зниження ступеня для cos 2 х.

Аналогічно виведемо і другу формулу зниження ступеня для sin 2 х:

З формули cos 2 х + sin 2 х = 1, з знайдемо cos 2 х:

cos 2 х = 1 - sin 2 х

У формулі cos 2x = cos 2 х - sin 2 х, значення cos 2 х:

замінимо на 1 - sin 2 х

і отримаємо 1 - sin 2 х- sin 2 х

Так як -sin 2 х -sin 2 х в сумі дасть -2 sin 2 х,

отримуємо, що cos 2x = 1 -2 sin 2 х.

Звідси висловлюємо sin 2 х:

переносимо одиницю з протилежним знаком

cos 2x-1 = -2 sin 2 х

міняємо знаки на протилежні

1 cos 2x = 2 sin 2 х

ділимо на 2 обидві частини рівності:

sin 2 х = (квадрат синуса ікс дорівнює напів-різниці одиниці і косинуса подвійного аргументу).

Запам'ятайте, формули, які ми отримали, називають формулами зниження ступеня.

Така назва була дана через те, що в лівій частині обох тотожностей міститься друга ступінь косинуса і синуса, а в правій частині - перша ступінь, тобто спостерігається зниження ступеня.

Розглянемо рішення прикладів із застосуванням формул зниження ступеня.

ПРИКЛАД 1. Знаючи, що cosx = - і хε (π;) (ікс належить проміжку від пі до трьох пі на два), обчислити cos.

Будемо використовувати формулу зниження ступеня

квадрат косинуса ікс cos 2 x =, так як. то отримаємо:

за умовою cosx = - підставивши дані в формулу маємо:

cos 2 =. зробивши обчислення в правій частині виразу, отримаємо

cos 2 =. винесемо корінь квадратний з. отримаємо

За умовою π х. отже. Це означає, що аргумент ікс, поділене на два належить другій чверті, де косинус негативний. Тому cos = -.

Відповідь: cos = -.

ПРИКЛАД 2. Знаючи, що cosx = - і хε (π;)

(Ікс належить проміжку від пі до трьох пі на два), обчислити sin.

Рішення. Будемо використовувати формулу зниження ступеня sin 2 х =

sin 2 =, так як за умовою cosx = -

Маємо: sin 2 = =. винесемо корінь квадратний і отримаємо

За умовою π х. отже. Це означає, що аргумент ікс, поділене на два належить другій чверті, де синус позитивний. Тому sin =.

ПРИКЛАД 3. Знаючи, що cosx = - і хε (π;) (ікс належить проміжку від пі до трьох пі на два), обчислити tg.

Рішення. Знаючи, що тангенс ікс - це відношення синуса ікс до косинусу ікс, маємо

в прикладах 1 і 2 ми знайшли, що sin = і cos = -. тому

Відповідь: tg = -5.