універсальне безліч

Визначення: Безліч Х є підмножиною Y, якщо будь-який елемент безлічі Х належить множині Y. Це ще називається нестрогим включенням.

Деякі властивості підмножини:

1. ХÍХ - рефлективність

2. X Í Y YÍZ ® X Í Z - транзитивність

3. Æ Í X тобто порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Нехай Х - безліч студентів певної групи, Е - безліч відмінників цієї ж групи.

EÍX тому група може складатися тільки з відмінників.

Коли хочуть підкреслити, що в безлічі У є обов'язково елементи, відмінні від елементів множини Х, то пишуть ХÌУ. Це називається строгим включенням.

Нехай Х - множина всіх курсантів ДВІММУ, Е - безліч курсантів електромеханічного факультету.

EÌX тому в множині всіх курсантів ДВІММУ, обов'язково є елементи Ï E.

Вправа: Самостійно визначити властивості суворого включення.

Визначення: Універсальне безліч - це така безліч, що складається з усіх елементів, а так само підмножин безлічі об'єктів досліджуваної області, тобто

1. Якщо М Î I, то М Í I

2. Якщо М Î I, то # 911; (М) Í I. де під # 911; (М) - розуміються всі можливі підмножини М, або Булеан М.

Універсальне безліч зазвичай позначається I.

Універсальне безліч може вибиратися самостійно, в залежності від розглянутого безлічі, і вирішуваних завдань.

Розглядаючи безліч студентів вашої групи, як універсальної множини можна взяти і безліч студентів ДВГМА, і безліч всіх людей землі, і безліч всіх живих істот землі.

Розглядаючи безліч цілих позитивних чисел, як універсальної множини можна взяти і безліч цілих чисел, і безліч дійсних чисел, і безліч комплексних чисел, і саме безліч цілих позитивних чисел.

Більш докладно про властивості універсальної множини ми поговоримо, обговорюючи операції над множинами. Скажемо тільки, що якщо роль нуля в алгебрі множин грає порожня множина. Те універсальне безліч, грає роль одиниці в алгебрі множин.

Тема 2.3 Операції над множинами.

Тепер визначимо операції над множинами.