У кубі abcda1b1c1d1 знайдіть кут між

1. У рівносторонньому трикутнику всі його кути рівні 60 градусам.

2. Діагоналі граней куба рівні

3. Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл.

4. Необхідне розуміння поняття - перехресні прямі.

Нагадаю яка призма є правильною.

Правильна призма - це призма підстави якої - правильні багатокутники. бічні ребра розташовані під прямим кутом до основи. наприклад:

Правильна трикутна призма - це пряма призма, основи якої равносторонние трикутники.

Правильна чотирикутна призма - це пряма призма, основи якої є квадратами. Зрозуміло, що така призма є прямокутним параллелепипедом.

Правильна шестикутна призма - це пряма призма, основи якої є правильними шестикутниками.

315130. У кубі ABCDA1 B1 C1 D1 точка К - середина ребра АA1. точка L - середина ребра A1 B1. точка M - середина ребра A1 D1. Знайдіть кут MLK. Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо куб, позначимо його вершини і точки K, M і L.

Так як дані точки є центрами ребер, то відрізки KM, ML, KL будуть рівні між собою. Це означає, що трикутник KML рівносторонній. Відомо, що в рівносторонньому трикутнику його кути рівні по 60 градусів. Таким чином, кут MLK дорівнює 60 0.

316554. У кубі ABCDA1 B1 C1 D1 знайдіть кут між прямими АD1 і B1 D1. Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо куб, позначимо вершини і ці відрізки, також побудуємо відрізок АВ1.

Відрізки АD1. B1 D1 і АD1 є діагоналями граней куба, тобто всі вони рівні, значить трикутник АD1 B1 є рівностороннім. Відомо, що в рівносторонньому трикутнику його кути рівні по 60 градусів.

Таким чином, кут між прямими АD1 і B1 D1 дорівнює 60 0.

318474. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1 B1 C1 D1 відомі довжини ребер AB = 8, AD = 6, AA1 = 21. Знайдіть синус кута між прямими CD і A1 C1.

Побудуємо відрізки CD та A1 C1.

У цьому завданню маємо перехресні прямі, тобто самі вони не мають спільної точки перетину. Але цей кут між перехресними прямими визначається. Як?

Простими словами: якщо ви подумки представите в просторі дві непаралельних прямі, то завжди існує такий перпендикуляр, який їх з'єднує. Так ось, якщо ми паралельним переносом зрушимо одну пряму до іншої з цього перпендикуляру до перетину цих прямих, то отриманий між ними кут і буде тим самим шуканим кутом.

У кубах і паралелепіпедах, де прямі проходять через ребра і діагоналі такі кути визначити нескладно. А ось в частині С присутні завдання зі перехресними прямими на порядок складніше.

Повернемося до нашого завдання.

Подумки зрушимо відрізок CD уздовж перпендикуляра СC1 до перетину з прямою A1 C1. Виходить, що необхідно знайти синус кута між A1 C1 і C1 D1. Це ми можемо зробити скориставшись визначенням синуса в прямокутному трикутнику А1 C1 D1. знайдемо:

За визначенням синуса:

318475. У правильної чотирикутної призмі ABCDA1 B1 C1 D1 відомо, що AC1 = 2BC. Знайдіть гострий кут між діагоналями BD1 і CA1. Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо правильну чотирикутну призму, позначимо вершини, побудуємо діагоналі BD1 і CA1.

Відразу відзначимо, що діагоналі BD 1 і CA 1 є діагоналями прямокутника A 1 BCD 1. тобто вони рівні між собою і дорівнюють діагоналі AC 1 (так як призма правильна чотирикутна).

Відомо, що діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, тобто:

В умові сказано, що AC1 = 2BC, значить маємо BD1 = CA1 = 2BC. На підставі викладеного можемо зробити висновок про те, що:

тобто трикутники BОС і A1 OD1 равносторонние.

Таким чином, кут гострий між діагоналями дорівнює 60 0.

В даних завданнях використовується теорема Піфагора, для знаходження кутів необхідно володіти поняттями синуса, косинуса, тангенса і котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику.

245359. Знайдіть квадрат відстані між вершинами C і A1 прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

245360. Знайдіть відстань між вершинами A і D1 прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

245361. Знайдіть кут ABD 1 прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3. Відповідь дайте у градусах.

245362. Знайдіть кут C1 BC прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Відповідь дайте у градусах.

245363. Знайдіть кут DBD 1 прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 4, AD = 3, AA 1 = 5. Відповідь дайте у градусах.

284357. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відомо, що BD 1 = 3, CD = 2, AD = 2. Знайдіть довжину ребра AA 1.

284363. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відомо, що DD 1 = 1, CD = 2, AD = 2. Знайдіть довжину діагоналі CA 1.

На цьому все. Успіху вам!

З повагою, Олександр Крутицький.