Трикутник і його елементи

Нехай А, В, С - три довільні точки, що не лежать на одній прямій. Фігура, що складається з трьох відрізків АВ, ВС, АС (рис.1), називається трикутником ABC (позначається: Л ABC). Трикутником також називають частину площині, обмежену відрізками АВ, ВС, АС (плоский трикутник). Точки А, В, С - вершини, відрізки АВ, ВС, АС - сторони трикутника. Сума довжин трьох сторін трикутника називається його периметром.

Кутом (або внутрішнім кутом) трикутника ABC при вершині А називається кут, утворений променями АВ і АС. Так само визначаються кути трикутника при вершинах В і С.

Кути CAB, ABC у ВСА трикутника ABC часто позначають однією буквою (А, В, С відповідно) або грецькими літерами α, β, γ (при цьому всередині кутів малюють дуги, см. Рис. 1). Кажуть, що кут А протіволежіт стороні ВС або сторона ВС протіволежіт кутку А; так само кут В і сторона АС, кут С і сторона АВ протіволежат (один одному).

Кут, суміжний з яким-небудь кутом трикутника, називається зовнішнім кутом цього трикутника. Такий, наприклад, кут BCD (рис.2). При кожному куті трикутника можна побудувати за два зовнішніх кута (продовживши одну або іншу сторону кута). Ці два кути рівні як кути вертикальні.

Відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони, називається бісектрисою трикутника (рис.3).

Будь-трикутник має три бісектриси.

Відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, називається медіаною трикутника (рис.4).

Будь-трикутник має три медіани.

Перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону, називається висотою трикутника (рис. 5).

Будь-трикутник має три висоти.

Якщо один з кутів трикутника прямий, то трикутник прямокутний (рис.6, а); якщо один з кутів тупий - тупокутний (рис.6, б); якщо всі три кута гострі - гострокутний (рис.6, в).

У прямокутному трикутнику сторона, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, дві інші сторони - катетами.

Трикутник, дві сторони якого рівні, називається рівнобедреним (АС = ВС на рис.7, а). Третя сторона - підстава, рівні сторони - бічні сторони.

Трикутник, три сторони якого рівні (АС = ВС = АВ на рис.7, б), називається рівностороннім.

Приклад 1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 м, бічна сторона - 15 м. Знайти основу.

Рішення. Позначимо підставу через х. Тоді периметр трикутника складе x + 15 + 15. За умовою ця сума дорівнює 50 м, т. Е. Х + 30 = 50, звідки х = 20. Отже, основа дорівнює 20 м.

Приклад 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 70 м. Бічна сторона більше підстави на 5 м. Знайти сторони трикутника.

Рішення. Скористаємося малюнком 7, а. Позначимо АВ через х, тоді ВС = АС через х + 5.

Тоді периметр трикутника складе (х + 5) + (х + 5) + х. За умовою ця сума дорівнює 70, т. Е. Зх + 10 = 70, або х = 20. Отже, сторони трикутника 20 см, 25 см і 25 см.

Приклад 3. Трикутник, периметр якого дорівнює 24 см, ділиться висотою на два трикутника, периметри яких рівні 12 см і 20 см. Знайти висоту трикутника.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає малюнок 5.

АН - висота трикутника ABC

Позначимо периметри трикутників АВС, АВН і АСН відповідно через Р, Р1 і Р2. З малюнка 5 видно, що Р1 + Р2 = Р + 2АН, або 12 + 20 = 24 + 2AH, звідки АН = 4.

Приклад 4. Вкажіть номери вірних тверджень.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій.

Трикутник зі сторонами 1, 2, 4 існує.

Якщо в ромбі один з кутів дорівнює 90 °, то такий ромб - квадрат.

Вкажіть номери вірних тверджень