Топологічні елементи схеми гілки, вузли, контури

Назва роботи: Топологічні елементи схеми: гілки, вузли, контури

Предметна область: Комунікація, зв'язок, радіоелектроніка та цифрові прилади

Опис: Електрична схема являє собою графічне зображення електричного кола. Вона показує як здійснюється з'єднання елементів розглянутої електричного кола. Електричними елементами схеми служать активні і пасивні елементи ланцюга. Гілка ділянку схеми розташований між двома вузлами і освічений одним або декількома послідовно з'єднаними електричними елементами ланцюга рис.

Розмір файлу: 435 KB

Роботу скачали: 23 чол.

8. Топологічні елементи схеми: гілки, вузли, контури.

Електрична схема являє собою графічне зображення електричного кола. Вона показує як здійснюється з'єднання елементів розглянутої електричного кола.

«Електричними» елементами схеми служать активні і пасивні елементи ланцюга.

«Геометричними» елементами схеми є гілки і вузли.

гілка # 150; ділянку схеми, розташований між двома вузлами і освічений одним або декількома послідовно з'єднаними електричними елементами ланцюга (рис. 11).

Мал. 11. Зображення гілок електричної схеми.

Під послідовним з'єднанням елементів ланцюга розуміється таке їх з'єднання, при якому через всі ці елементи проходить один і той же струм.

вузол # 150; місце з'єднання трьох або більшої кількості гілок. Місце з'єднання двох гілок розглядається як усувний вузол.

Мал. 12. Зображення вузла електричної схеми.

Гілки приєднані до однієї пари вузлів називаються паралельними (рис. 13).

Мал. 13. Паралельне з'єднання двох гілок.

На рис. 14 зображена електрична схема п'ять гілок і три вузла.

Стрілкою на рис. вказано напрямок обходу одного з контурів.

Мал. 14. Схема електричного кола.

Під контуром розуміється будь-який замкнутий шлях, що проходить по декількох гілках.

Залежно від числа контурів, наявних у схемі, розрізняють багатоконтурні і одноконтурні схеми.

Одноконтурна замкнута схема показана на рис. 15.

Одноконтурна схема є найпростішою.

Мал. 15. Одноконтурна схема.

9. Розподіл потенціалу вздовж ділянки гілки.

Розглянемо ділянку електричного кола (рис. 16)

Ділянка гілки, що містить один або кілька джерел енергії, є активним.

Позитивні напрямки струму і напруги вказані стрілкою.

Визначимо потенціали точок c. d. e. b. припустивши, що відомий потенціал точки a -  a.

Для правильного вибору знаків слід пам'ятати. що:

1. ток в опорі завжди спрямований від більш високого потенціалу до більш низького, тобто потенціал падає у напрямку струму.
2. е.р.с. спрямована від точки «с» до точки «d», підвищує потенціал останньої на величину E.
3. напруга U = Uac позитивно, коли потенціал точки а вище, ніж потенціал точки с.

При позначенні напруги (різниці потенціалів) на схемах за допомогою стрілки вона ставиться в напрямку від точки вищого потенціалу до точки нижчого потенціалу.

На рис. 16 струм протікає від точки «а» до точки «с», значить потенціал  з буде менше  a на величину падіння напруги на опорі R 1. яке за законом Ома одно IR 1.

На ділянці cd е.р.с. E 1 діє в бік підвищення потенціалу, отже:

 d =  з + E 1 =  a - IR 1+ E 1

Потенціал точки «e» менше потенціалу точки «d» на величину падіння напруги на опорі R 2.

 e =  d # 150; IR 2 =  a - IR 1+ E 1 # 150; IR 2

На ділянці e в е.р.с. E 2 діє таким чином, що потенціал точки «b» менше потенціалу точки «e» на величину E 2.

 b =  e # 150; E 2 =  a - IR 1+ E 1 # 150; IR 2 # 150; E 2 =  a # 150; I (R 1 + R 2) + E 1 -E 2 (15)

Щоб наочно оцінити розподіл потенціалу вздовж ділянки кола, корисно побудувати потенційну діаграму. яка представляє графік зміни потенціалу вздовж ділянки ланцюга або замкнутого контуру.

По осі абсцис графіка відкладаються потенціали точок, а по осі ординат # 150; опору окремих ділянок ланцюга. Для ділянки кола рис. 16 розподіл потенціалу побудовано на рис. 17.

Мал. 16. Потенційна діаграма ділянки ланцюга.

Потенційна діаграма рис. 16 побудована, починаючи з точки a. яка умовно прийнята за початок відліку. Потенціал  a прийнятий рівним нулю.

Точка ланцюга, потенціал якої умовно приймається рівним нулю, називається базисною.

Якщо в умові завдання не обумовлено, яка точка є базисної, то можна потенціал будь-якої точки умовно прирівнювати до нуля. Тоді потенціали всіх інших точок будуть визначатися щодо обраного базису.

10. Узагальнений закон Ома.

Закон Ома виражається формулою, визначає залежність між струмом і напругою на пасивному ділянці електричного кола.

Визначимо залежність між струмом, напругою і ЕРС на активній ділянці (рис. 16).

З формули 15 слід:

 a -  b = I (R 1 + R 2) - E 1 + E 2 (16)

На позитивне напруга на ділянці a # 150; b Uab =  a -  b

Отже, Uab = I (R 1 + R 2) - E 1 + E 2 (17)

Формула (18) виражає узагальнений закон Ома, або закон Ома для ділянки, що містить е.р.с.

З формули видно, що якщо струм, напруга і е.р.с. збігаються за напрямком, то в вираз закону Ома вони входять з однаковими знаками. Якщо е.р.с. діє в сторону, протилежну позитивного напрямку струму, то в вираженні ставиться знак «-».

Закон Ома застосовується для ділянки гілки і для одноконтурной замкнутої схеми.

Приклад № 1 побудови потенційної діаграми:

Побудувати потенційну діаграму для одноконтурной схеми:

E 1 = 25В; E 2 = 5В; E 3 = 20В; E 4 = 35В,

R 1 = 8 Ом; R 2 = 24 Ом; R 3 = 40 Ом; R 4 = 4 Ом,

r 1 = 2 Ом; r 2 = 6 Ом; r 3 = 2 Ом; r 4 = 4 Ом.

Рішення. 1. перерісуем заданий контур, виносячи внутрішні опору е.р.с. (R 1 - r 4) за їх межі; позначимо точки контуру.

2. Виберемо позитивний напрямок струму I. визначимо його значення використовуючи узагальнений закон Ома:

3. За базисну точку приймемо точку a. Знайдемо потенціали інших точок:

 b =  a # 150; IR 1 = - 4В  e =  d # 150; IR 2 = 8В

 c =  b # 150; Ir 1 = - 5В  f =  e + E 2 = 13В

 d =  c + E 1 = 20В  q =  f # 150; Ir 2 = 10В

 k =  q # 150; IR 3 = - 10В  n =  m # 150; IR 4 = - 33В

 e =  k # 150; E 3 = - 30 В  o =  n # 150; Ir 4 = - 35 В

 m =  e # 150; Ir 3 = - 31В  a =  o + E 4 = 0

4. У системі координат будуємо потенційну діаграму:

11. Закони Кірхгофа.

Розподіл струмів по гілках електричного кола підпорядковується першому закону Кірхгофа, а розподіл напружень по ділянках ланцюга підпорядковується другому законі Кирхгофа.

Закони Кірхгофа поряд з законом Ома є основними в теорії електричних ланцюгів.

Перший закон Кірхгофа:

Алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю:

Де i - число гілок, що сходяться в даному вузлі.

Тобто підсумовування поширюється на струми в гілках, які сходяться в розглянутому вузлі.

Рис.17. Ілюстрація до першого закону Кірхгофа.

Число рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа, визначається формулою:

N у p = N у # 150; 1,

Де N у # 150; число вузлів в розглянутій ланцюга.

Знаки струмів в рівнянні беруться з урахуванням обраного позитивного спрямування. Знаки у струмів однакові, якщо струми однаково орієнтовані щодо даного вузла.

Наприклад, для вузла, представленого на рис.17: пріпішем струмів, підтікають до вузла знаки «+», а до струмів, відтікає від вузла # 150; знаки «-».

Тоді рівняння за першим законом Кірхгофа запишеться так:

I 1 # 150; I 2 + I 3 # 150; I 4 = 0.

Рівняння, складені за першим законом Кірхгофа, називаються вузловими.

Цей закон виражає той факт, що в вузлі електричний заряд не накопичується і не витрачається. Сума електричних зарядів, що приходять до вузла, дорівнює сумі зарядів, що йдуть від вузла за один і той же проміжок часу.

Другий закон Кірхгофа:

Алгебраїчна сума ЕРС в будь-якому замкнутому контурі ланцюга дорівнює сумі алгебри падінь напруги на елементах цього контуру:

де i # 150; номер елемента (опору або джерела напруги) в розглянутому контурі.

** Число рівнянь, що складаються за другим законом Кірхгофа, визначається формулою:

N у p = Nb # 150; N у + 1 # 150; N е.р.с.

де Nb # 150; число гілок електричного кола;

N у - число вузлів;

N е.р.с. - число ідеальних джерел е.р.с.

Рис.18. Ілюстрація до другого закону Кірхгофа.

Для того, щоб правильно записати другий закон Кірхгофа для заданого контуру, слід виконувати такі правила:

1. довільно вибрати напрямок обходу контуру, наприклад, за годинниковою стрілкою (рис.18).
2. е.р.с. і падіння напруги, які збігаються за напрямком з обраним напрямом обходу, записуються в вираженні зі знаком «+»; якщо е.р.с. і падіння напруги не співпадають з напрямком обходу контуру, то перед ними ставиться знак «-».

Наприклад, для контуру рис.18, другий закон Кірхгофа запишеться наступним чином:

U 1 # 150; U 2 + U 3 = E 1 # 150; E 3 # 150; E 4 (21)

Рівняння (20) можна переписати у вигляді:

 (Ui # 150; Ei) = 0 (22)

Де (U # 150; E) # 150; напруга на гілки.

Отже, другий закон Кірхгофа можна сформулювати наступним чином:

Алгебраїчна сума напруг на гілках в будь-якому замкнутому контурі дорівнює нулю.

Потенційна діаграма, розглянута раніше, служить графічною інтерпретацією другого закону Кірхгофа.

У схемі рис.1 задані струми I 1 і I 3. опору і е.р.с. Визначити струми I 4. I 5. I 6; напруга між точками a і b. якщо I 1 = 10м A. I 3 = -20 м A. R 4 = 5 k Ом, E 5 = 20 B. R 5 = 3 k Ом, E 6 = 40 B. R 6 = 2 k Ом.

1. Для заданого контуру складемо два рівняння за першим законом Кірхгофа і одне # 150; по другому. Напрямок обходу контуру вказано стрілкою.

В результаті рішення отримуємо: I 6 = 0; I 4 = 10м A; I 5 = -10м A

1. задамо напрямок напруги між точками a і b від точки «a» до точки «b» - U ab. Ця напруга знайдемо з рівняння за другим законом Кірхгофа:

I 4 R 4 + U ab + I 6 R 6 = 0

Для схеми рис.2 скласти рівняння за законами Кірхгофа і визначити невідомі точки.

Дано. I 1 = 20 м A; I 2 = 10 м A

R 1 = 5k Ом. R 3 = 4k Ом. R 4 = 6k Ом. R 5 = 2k Ом. R 6 = 4k Ом.

Число вузлових рівнянь # 150; 3, число контурних рівнянь # 150; 1.

Запам'ятати! При складанні рівняння за другим законом Кірхгофа вибираємо контур, до якого не входять джерела струму. Напрямок контуру вказано на малюнку.

В даному колі відомі струми гілок I 1 і I 2. Невідомі струми I 3. I 4. I 5. I 6.

Вирішуючи систему, отримуємо: I 3 = 13,75 м A; I 4 = -3,75м A; I 5 = 6,25м A; I 6 = 16,25м A.

12. Складання балансу потужностей.

Із закону збереження енергії випливає, що вся потужність, яка надходить ланцюг від джерел енергії, в будь-який момент часу дорівнює всій потужності, споживаної приймачами даному колі.

Тобто IP потр. =  P іст.

Потужність споживачів, якими в ланцюгах постійного струму є резистори, визначається за формулою

Оскільки ток входить в цей вислів в квадраті, то незалежно від його напряму, потужність споживання завжди позитивна.

Потужність джерел, якими можуть бути джерела напруги і джерела струму, буває і позитивною і негативною.

Потужність джерела е.р.с. визначається за формулою

де I # 150; ток в галузі з джерелом ЕРС

Якщо е.р.с. і струм цієї гілки збігаються за напрямком (рис.19), то потужність P е.р.с.

входить у вираз балансу зі знаком «+»,

якщо не збігаються # 150; то P е.р.с. # 150; величина

Потужність джерела струму визначається за формулою:

де I # 150; значення струму джерела, U - напруга на його затискачах.

Якщо струм I і напруга U діють так, як показано на ріс.19б, то потужність позитивна; в іншому випадку вона # 150; негативна. Отже, при обчисленні потужності джерела струму необхідно визначати величину і напрям напруги на його затискачах.

Субградіент для функції максимуму. Градієнтом диференціюється fx в точці називається вектор приватних проізводних.x0 y0 а значення lim називається приватної похідною функції f по x в т. Вектор називається субградіентом опорним вектором функції fx в точці якщо виконується: Таких з безліч але це безліч обмежена і замкнуто.