Типові ланки та їх характеристики

Одинична функція. Дельта-функція.
Типові реакції систем

Одинична ступінчаста функція - $ 1 (t) $ Математична функція, задана умовами: $ 1 (t) = 0 $ при $ t \ lt 0 $, і $ 1 (t) = 1 $ при $ t \ gt 0 $. Для автоматичних систем є поширеним видом вхідного впливу. Як правило, подібні дії супроводжують процеси включення систем і викликають переходи від одного сталого стану до іншого. Дельта-функція Дірака - $ δ (t) $ Математична функція, задана умовами: $ δ (t) → ∞ $ при $ t = 0 $, і $ δ (t) = 0 $ при $ t ≠ 0 $, - т . Е. це імпульс з нескінченної амплітудою, площа якого приймається рівною 1. Для автоматичних систем є менш поширеним видом вхідного впливу, ніж одинична ступінчаста функція. Однак для теоретичного опису останніх має істотне значення. Подібні дії характерні для радарних комплексів, описують передачу імпульсу при пружному взаємодії і т.д.

З визначень функцій $ 1 (t) $ і $ δ (t) $ очевидна зв'язок між ними:

Одинична ступінчаста функція $ 1 (t) $ легка для практичної реалізації з високою точністю, проте дельта-функцію Дірака $ δ (t) $ реалізувати складніше. Для теоретичного опису систем і їх моделювання її можна грубо уявити за допомогою двох східчастих функцій:

$ Δ (t) ≈ N 1 (t) - N 1 (t-ε) $,

де: $ N $ - амплітуда функцій, ε - час, на яке запізнюється друга ступінчаста функція, при цьому $ Nε = 1 $ і $ ε → 0 $.

Перехідна функція або характеристика - $ h (t) $ Перехідний процес на виході типового ланки або лінійної системи, що виникає при подачі на вхід одиничної ступінчастої функції $ 1 (t) $. Функція ваги - $ w (t) $ Перехідний процес на виході типового ланки або лінійної системи, що виникає при подачі на вхід короткого імпульсу, який, в наближенні, можна розглядати як дельта-функцію Дірака $ δ (t) $.

З причини незалежності властивих лінійним системам властивостей від зовнішніх впливів і наявності зв'язку (1) між останніми, подібне ж відношення існує і для відповідних типових реакцій:

Доведемо цей взаємозв'язок подавши на систему грубу реалізацію дельта-функції (2). В цьому випадку перехідний процес на виході можна представити наступною суперпозицией:

$ Y (t) = N h (t) - N h (t-ε) $,

яка буде функцією ваги, межа якої (при $ ε → 0 $) буде дорівнює похідною від перехідної функції:

$ W (t) = \ lim_ (ε N (h (t) - h (t-ε)) / ε) = h '(t) $, - нагадаємо: $ N ε = 1 $.

Функція ваги пов'язана з функцією передачі перетворенням Лапласа:

Перехідна функція пов'язана з функцією передачі перетворенням Карсона:

Для довільного вхідного впливу, перехідний процес на виході лінійної системи може бути визначений на підставі інтеграла Дюамеля-Карсона, якщо відомі типові реакції:

де: τ - допоміжний час інтегрування.

Типові динамічні ланки

Типові динамічні ланки Сукупність елементарних, універсальних математичних функцій найбільш часто використовуваних при побудові динамічних моделей реальних об'єктів. Являють собою ДУ, записані в особливій формі - у вигляді ПФ зв'язують вхідний і вихідний сигнали ланок. Зазвичай ПФ записуються не для тимчасового домену, а для домену Лапласа, пов'язуючи в цього варіанту не сигнали (тобто не функції часу), а їх зображення.

Наявність нульових коренів в чисельнику або знаменнику ПФ типових ланок - це ознака для розбиття останніх на три групи:

• Позиційні ланки: 1, 2, 3, 4, 5, - не мають нульових коренів, і, отже, в області низьких частот (тобто в сталому режимі), мають коефіцієнт передачі рівний $ k $.
• Інтегрують ланки: 6, 7, 8, - мають нульовий корінь-полюс, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, який прагне до нескінченності.
• Диференціюючі ланки: 9, 10 - мають нульовий корінь-нуль, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, який прагне до нуля.

Правила перетворення структурних схем лінійних систем

Декомпозиція будь-якої лінійної системи на модулі (модулярізаціі) еквівалентна її подання за допомогою типових динамічних ланок. Блок-схема може містити велику кількість ланок, і їх з'єднання може бути довільним. Існує лише два основних правила перетворення структурних схем лінійних систем.

• Результуюча ПФ-я двох послідовно включених блоків дорівнює добутку їх ПФ-ий.
• Результуюча ПФ-я двох паралельно включених блоків дорівнює сумі їх ПФ-ий.

Для спрощення більш складних з'єднань слід користуватися принципом суперпозиції, як показано на малюнку.

Оскільки в логарифмічному домені операція множення здійснюється складанням, результуюча ЛАЧХ послідовно включених ланок виходить складанням вихідних. Побудова результуючої ЛАЧХ паралельно включених ланок виконується по обвідної вихідних. Тут діє принцип - якщо один з паралельних каналів зі зміною частоти сигналу перестає його пропускати, то сигнал проходить по другому паралельного каналу.