Теорема про ймовірність суми подій

Теорема додавання ймовірностей

Сумою двох випадкових подій А і В називається події А + В складаються в наступ хоча б однієї з подій А або В.

А В: 1) тільки А чи 2) тільки В або 3) А і В

А + В: 1) тільки А чи 2) тільки В

Теорема додавання для 2-х несумісних подій

Якщо А і В - несумісні, то ймовірність настання тільки одного з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Слідство: ця теорема застосовна для будь-якого кінцевого числа несумісних подій Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С)

Теорема додавання для повно групи подій

Нехай події В # 8321 ;, В # 8322;, ... утворюють повну групу. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу дорівнює 1. Р (В # 8321;) + Р (В # 8322;) + ... + Р () = 1

Теорема додавання для протилежних подій

Р (# 256;) + Р (А) = 1. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.

Умовні ймовірності. Теорема про ймовірність добутку подій

Теорема множення ймовірностей

Нехай будь-яке випадкове подія називається подія А і В, що складаються в спільному наступ подій А і В

Випадкова подія (с.с.) - то, що може відбутися або не відбутися при здійснення певної сукупності умов S

Якщо ніяких інших обмежень крім умови S на випадкове подія не накладається, то ймовірність цієї події називається безумовною і позначається Р (А)

Умовною ймовірністю події В називається ймовірність цієї події, обчислену в припущенні, що подія А вже відбулася і позначається

Подія називається залежним про події А, якщо ймовірність події В змінюється в залежності від того, чи відбувається подія А чи ні. Якщо не змінюється, то подія А і В - незалежні

Нехай А і В - залежне с.с.

Можливість спільного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї, на умовну ймовірність іншого, обчислену припущенням, що перша подія вже відбулося

Нехай А і В - незалежне с.с.

Так як ймовірність події В не змінюється в залежності від того, відбувається подія А чи ні

Нехай А і В - незалежне с.с.

Можливість спільного настання всіх незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Нехай А, В, С ... К, L - залежне С.С

Можливість спільного настання кінцевого числа залежних подій дорівнює добутку умовних ймовірностей цих подій відносних твору попередніх кожному з них

Нехай А, В, С ... К, L - незалежне с.с.

Імовірність настання кінцевого числа незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Формула повної ймовірності

Нехай подія А може відбутися лише за умови настання однієї з незалежних подій В # 8321 ;, В # 8322 ;. . які утворюють повну групу. У цьому випадку ймовірність події А можна знайти з теореми

Р (А) = Р (В # 8321;) *) * А) + ... + Р (* - формула повної ймовірності

Імовірність події А, яке може статися лише за умови настання однієї з незалежних подій В # 8321 ;, В # 8322 ;. . які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірності цих подій на відповідну умові ймовірність події А

Р (А) - ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В # 8321 ;, В # 8322 ;. . які утворюють повну групу.

У зв'язку з тим, що невідомо, яке з подій В # 8321 ;, В # 8322 ;. відбудеться, ці події називаються припущеннями або гіпотезами. З'ясуємо, як зміниться ймовірність кожної з гіпотез в зв'язку з наступаючим подією А, тобто обчислимо умова ймовірності

Знайдемо ймовірність спільного настання подій А і В # 8321 ;. Використовуємо теорему множення для 2-х залежних подій

Оскільки в лівій частині обох формул знаходяться ймовірність одного і того ж події, ліві частини рівні, рівні й праві

Аналогічно можна отримати формули для умовних ймовірностей інших гіпотез

Ці формули називаються формулою Байеса в яких імовірність А в значенні знаходиться за формулою повної ймовірності: Р (А) = Р (В # 8321;) * + Р (В # 8322;) * + ... + Р () *

- ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А відбудеться рівно До раз

У загальному випадку можна стверджувати, що ймовірність настання події А в n незалежних випробуваннях:

1) не менше До раз:

2) не більше До раз

Змінні величини які приймають різні значення в залежності про випадки, називаються випадкові величини

Позначаються: великими латинським літерами X; Y; Z ..

значення, яке приймають випадкові величини в результаті випробування, називають її можливі значення

Х - число очок, що випали при підкидання грального кубика: х # 8321; = 1, х # 8322; = 2, х # 8323; = 3, х # 8324; = 4, х # 8325; = 5, х # 8326; = 6

Випадкові величини поділяються на 2 види: дискретні і безперервні

Дискретної називають випадкову величину, можливе значення якої утворює дискретний ряд чисел. Число цих значень може бути кінцевим і нескінченним.

Безперервної називають випадкову величину, можливе значення якої повністю заповнює деякий проміжок (кінцевий або нескінченний). Число завжди нескінченно

Нормальний закон розпод-я н.с.в. - закон, який хар-ся след.пл-ма розпод-я.

→ норм перший закон визна-ся двома параметрами а і (жігма)

Q = D (Х) під коренем = Q (Х). → параметр a = мат. ожид-ю. а пар. Q = середньому квадратич. Про откл- ю нормально розпод-ой с.в.х.

Варіаційний ряд - послідовність всіх елементів вибірки, розташованих в неубутних порядку. Однакові елементи повторюються.

З цього ряду вже можна зробити кілька висновків. Наприклад, середній елемент варіаційного ряду (медіана) може бути оцінкою найбільш ймовірного результату вимірювання. Перший і останній елемент варіаційного ряду (тобто мінімальний і максимальний елемент вибірки) показують розкид елементів вибірки. Іноді якщо перший або останній елемент сильно відрізняються від інших елементів вибірки, то їх виключають з результатів вимірювань, вважаючи, що ці значення отримані в результаті якогось грубого збою, наприклад, техніки.

17. Графічне зображення варіаційних рядів, полігон і гістограма.

Графічне зображення варіації. рядів: 1. Полігонна частота-лінія відрізка, якої з'єднують точки з координатами (х1, Н1) (х2, Н2) (хн, нк). Точки з'єднуються з координатами (х1, в1) (х2, в2) (хн, вн).

2. Для безперервного розпод-я колличество-ти ознаки Х, використовують гістограму частот або відносить. частот. Для гістограми відносить. частот висоти прямокутні = ві. альфа.