Тензор малих деформацій

Під малими деформаціями розуміється рух суцільного середовища, при якому довжини матеріальних волокон і кути між ними мало змінюються, тобто відносне подовження волокон і відносне скошування спочатку прямих кутів між волокнами багато менше одиниці. Крім того, будемо вимагати трохи приватних похідних компонентів переміщень у порівнянні з одиницею. В цьому випадку, в виразах для компонентів тензорів L іE твором малих величин можна знехтувати. Таким чином, лінеаризовані тензори деформацій ілітензори малих деформацій мають вигляд:

Можна довести, що тензори малих деформацій збігаються.

Приклад. Нехай рух суцільного середовища відбувається за законом:

.

Знайдемо тензор L. Для цього спочатку обчислимо компоненти вектора переміщень в лагранжевих координатах:

.

З усіх компонентів тензора L ненульовим буде тільки один -

.

.

Знайдемо тензор E. Спочатку обчислимо компоненти вектора переміщень в ейлерових координатах:

.

Тензор E має тільки один ненульовий компонент:

.

.

Тому неважко знайти

в лагранжевих координатах:

Видно що

. Тобто Лагранжа і Ейлером тензор кінцевих деформацій не збігаються.

Знайдемо Лагранжа і Ейлером тензори малих деформацій і покажемо, що вони збігаються.

,

=.

обчислимо

. Так як в лінійному наближенні

,

Перейдемо до обчислення відносної зміни довжини матеріального елемента при малих деформаціях:

.

Звідси слідує що

.

В силу малості деформацій відносна зміна довжини мало, отже, в лінійному наближенні квадратом цієї величини можна знехтувати:

.

.

.

Відносне зміна довжини відрізка висловимо через Лагранжа або Ейлером тензор малих деформацій, отримаємо:

,.

Можна ввести одиничний вектор

в напрямку розглянутого відрізка:

.

Тоді формулу для

можна переписати в матричному вигляді:

,

.

Механічний сенс тензора малих деформацій